Номер 69, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 69, страница 192.

Условие.

20.69. Через вершину прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости $ABC$. На прямой $m$ отметили точку $D$, такую, что угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABD$, если $AB = 16$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Также известно, что $\angle BAC = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AB$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AC = BC$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $AB$. Для его измерения построим линейный угол. Проведем в плоскости $ABC$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также и медианой, поэтому ее длина равна половине гипотенузы: $CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

По условию, прямая $m$, проходящая через точку $C$, перпендикулярна плоскости $ABC$. Точка $D$ лежит на этой прямой, следовательно, отрезок $CD$ перпендикулярен плоскости $ABC$ ($CD \perp (ABC)$). Тогда $DH$ — наклонная к плоскости $ABC$, а $CH$ — ее ортогональная проекция на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $CH$ перпендикулярна прямой $AB$ ($CH \perp AB$), то и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $AB$ ($DH \perp AB$).

Таким образом, $DH$ является высотой в треугольнике $ABD$, а угол $\angle DHC$ — линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. По условию, $\angle DHC = 30^\circ$.

Для нахождения площади треугольника $ABD$ ($S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$) необходимо найти длину высоты $DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$ (угол $\angle DCH = 90^\circ$, так как $CD \perp (ABC)$ и $CH$ лежит в этой плоскости). В этом треугольнике известен катет $CH = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle DHC = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $DH$ из соотношения:

$\cos(\angle DHC) = \frac{CH}{DH} \implies DH = \frac{CH}{\cos(30^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{128\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.