Номер 70, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 70, страница 193.

Условие.

20.70. Проекцией трапеции, площадь которой равна $40\sqrt{2}$ см$^2$, является равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 13 см и боковой стороной 5 см. Найдите угол между плоскостями данных трапеций.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ - площадь исходной трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее проекции (равнобокой трапеции). Угол между плоскостями этих трапеций обозначим как $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры следующей формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$.

Из этой формулы можно выразить косинус угла между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$.

По условию задачи нам дана площадь исходной трапеции $S = 40\sqrt{2}$ см².

Теперь найдем площадь проекции, которой является равнобокая трапеция. Даны ее основания $a = 13$ см и $b = 7$ см, а также боковая сторона $c = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

Чтобы найти высоту равнобокой трапеции, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - это боковая сторона трапеции ($c=5$ см), один из катетов - это высота ($h$), а второй катет равен полуразности оснований.

Найдем длину этого катета:$\frac{a-b}{2} = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h^2 + 3^2 = 5^2$$h^2 + 9 = 25$$h^2 = 25 - 9 = 16$$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь равнобокой трапеции (проекции):$S_{пр} = \frac{13 + 7}{2} \cdot 4 = \frac{20}{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Наконец, найдем косинус угла между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.