Номер 73, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 73, страница 193.

Условие.

20.73. Сечением наклонной четырёхугольной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность, а основания этой трапеции равны 5 см и 7 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

В данной задаче перпендикулярным сечением является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Длина бокового ребра призмы $l = 8$ см.

Основания трапеции равны $a = 7$ см и $b = 5$ см. Обозначим боковые стороны трапеции как $c$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны.

Ключевым свойством любого описанного четырехугольника (четырехугольника, в который можно вписать окружность) является то, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c + c$

$a + b = 2c$

Периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$ — это периметр трапеции:

$P_{\perp} = a + b + c + c = a + b + 2c$

Используя свойство описанного четырехугольника, мы можем заменить $2c$ на $a+b$:

$P_{\perp} = (a + b) + (a + b) = 2(a + b)$

Подставим числовые значения оснований $a$ и $b$:

$P_{\perp} = 2(7 + 5) = 2(12) = 24$ см.

Теперь, зная периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем найти площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.

Ответ: 192 см².