Номер 79, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 79, страница 193.

Условие.

20.79. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$, точка $K$ — центр грани $ABB_1A_1$. Найдите угол между прямой $MK$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.Чтобы найти этот угол, построим прямоугольный треугольник, в котором $\alpha$ будет одним из острых углов. Катетами этого треугольника будут служить длина проекции отрезка $MK$ на плоскость $ABC$ и разность высот точек $M$ и $K$ относительно этой плоскости.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

1. Найдём разность высот точек $M$ и $K$ над плоскостью $ABC$.Точка $M$ — центр верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Её высота над плоскостью $ABC$ равна длине бокового ребра, то есть $a$.Точка $K$ — центр боковой грани $ABB_1A_1$. Её высота над плоскостью $ABC$ равна половине высоты бокового ребра, то есть $a/2$.Разность высот $\Delta h$ равна:$\Delta h = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$.Этот катет в нашем прямоугольном треугольнике равен $\frac{a}{2}$.

2. Найдём длину проекции отрезка $MK$ на плоскость $ABC$.Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $P$ — центр нижней грани $ABCD$.Проекцией точки $K$ на плоскость $ABC$ является точка $H$ — середина ребра $AB$.Следовательно, проекцией отрезка $MK$ на плоскость $ABC$ является отрезок $PH$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ в плоскости. Точка $P$ — его центр, а точка $H$ — середина стороны $AB$. Проведём через точку $P$ прямую, параллельную $AD$. Эта прямая пересечёт сторону $AB$ в её середине, то есть в точке $H$. Таким образом, отрезок $PH$ перпендикулярен стороне $AB$. Длина этого отрезка равна половине длины стороны $AD$.Длина проекции $d_{proj}$ равна:$d_{proj} = |PH| = \frac{1}{2} |AD| = \frac{a}{2}$.Этот катет в нашем прямоугольном треугольнике также равен $\frac{a}{2}$.

3. Найдём искомый угол $\alpha$.В прямоугольном треугольнике, который мы построили, тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (разности высот) к прилежащему катету (длине проекции).$\tan(\alpha) = \frac{\Delta h}{d_{proj}} = \frac{a/2}{a/2} = 1$.

Следовательно, угол $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.