Номер 81, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 81, страница 193.

Условие.

20.81. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 9 см и 8 см, а угол между ними равен $60^\circ$. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда (параллелограмма) равны $a = 9$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

1. Нахождение диагоналей основания.
Диагонали параллелограмма можно найти с помощью теоремы косинусов. Углы в основании равны $60^\circ$ и $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Меньшая диагональ основания, $d_1$, лежит напротив острого угла: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ) = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 81 + 64 - 72 = 73$.
Таким образом, $d_1 = \sqrt{73}$ см.
Большая диагональ основания, $d_2$, лежит напротив тупого угла: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 + 64 + 72 = 217$.
Таким образом, $d_2 = \sqrt{217}$ см.

2. Нахождение высоты параллелепипеда.
Пусть высота прямого параллелепипеда равна $H$. Квадраты диагоналей параллелепипеда, $D_1$ и $D_2$, равны сумме квадрата высоты и квадрата соответствующей диагонали основания: $D_1^2 = d_1^2 + H^2 = 73 + H^2$
$D_2^2 = d_2^2 + H^2 = 217 + H^2$
Поскольку $73 < 217$, то $D_1 < D_2$. Значит, меньшая диагональ параллелепипеда - это $D_1$.
По условию, большая диагональ основания ($d_2$) равна меньшей диагонали параллелепипеда ($D_1$): $d_2 = D_1 \implies d_2^2 = D_1^2$
$217 = 73 + H^2$
$H^2 = 217 - 73 = 144$
$H = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.
Периметр основания: $P_{осн} = 2(a+b) = 2(9+8) = 2 \cdot 17 = 34$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 34 \cdot 12 = 408$ см$^2$.

Ответ: $408$ см$^2$.