Номер 88, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 88, страница 194.

Условие.

20.88. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 40 см и 30 см, а высота пирамиды равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при рёбрах её основания равны.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ находится как сумма площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является ромб с диагоналями $d_1 = 40$ см и $d_2 = 30$ см. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \text{ см}^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ для пирамиды, у которой двугранные углы при рёбрах основания равны, вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны $\frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см, а его гипотенуза — это сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$.

Периметр ромба: $P = 4a = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}$.

Так как двугранные углы при рёбрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в ромб окружности, а все апофемы пирамиды равны. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема $h_a$ образуют прямоугольный треугольник. Для нахождения апофемы сначала нужно найти радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = 2ar$.

Отсюда выразим радиус: $r = \frac{S_{осн}}{2a} = \frac{600}{2 \cdot 25} = \frac{600}{50} = 12 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$, зная высоту пирамиды $H = 5$ см и радиус $r=12$ см:

$h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 13 = 650 \text{ см}^2$.

3. Нахождение площади полной поверхности

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 600 + 650 = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.