Страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.83. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см, а площадь боковой поверхности – $312 \text{ см}^2$. Расстояние между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно 5 см, а между рёбрами $BB_1$ и $DD_1$ – 19 см. Найдите двугранные углы при рёбрах $AA_1$ и $BB_1$.

Пусть дан наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина бокового ребра $l = AA_1 = 6$ см, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 312$ см².

Площадь боковой поверхности наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его боковым рёбрам. В данном случае перпендикулярное сечение является параллелограммом. Обозначим его $KLMN$, где вершины $K, L, M, N$ лежат на боковых рёбрах $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно.

Найдем периметр этого параллелограмма:

$P_{KLMN} = \frac{S_{бок}}{l} = \frac{312}{6} = 52$ см.

Длина стороны перпендикулярного сечения равна расстоянию между соответствующими боковыми рёбрами. Расстояние между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно длине стороны $KL$. По условию, это расстояние равно 5 см, следовательно, $KL = 5$ см. Так как $KLMN$ — параллелограмм, то $MN = KL = 5$ см.

Периметр параллелограмма $KLMN$ равен $P_{KLMN} = 2(KL + KN)$. Подставим известные значения:

$52 = 2(5 + KN)$

$26 = 5 + KN$

$KN = 21$ см.

Таким образом, стороны перпендикулярного сечения равны 5 см и 21 см.

Расстояние между противоположными боковыми рёбрами $BB_1$ и $DD_1$ равно длине диагонали $LN$ перпендикулярного сечения $KLMN$ (так как плоскость сечения перпендикулярна этим рёбрам). По условию, это расстояние равно 19 см, следовательно, диагональ $LN = 19$ см.

Двугранные углы при боковых рёбрах параллелепипеда равны соответствующим углам его перпендикулярного сечения. Нам нужно найти величину угла $\angle NKL$ (двугранный угол при ребре $AA_1$) и угла $\angle KLM$ (двугранный угол при ребре $BB_1$).

Двугранный угол при ребре AA₁

Этот угол равен углу $\angle NKL$ в параллелограмме $KLMN$. Рассмотрим треугольник $NKL$. Его стороны равны $KL = 5$ см, $KN = 21$ см, а диагональ $LN = 19$ см. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle NKL$:

$LN^2 = KL^2 + KN^2 - 2 \cdot KL \cdot KN \cdot \cos(\angle NKL)$

$19^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos(\angle NKL)$

$361 = 25 + 441 - 210 \cdot \cos(\angle NKL)$

$361 = 466 - 210 \cdot \cos(\angle NKL)$

$210 \cdot \cos(\angle NKL) = 466 - 361$

$210 \cdot \cos(\angle NKL) = 105$

$\cos(\angle NKL) = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\angle NKL = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Двугранный угол при ребре BB₁

Этот угол равен углу $\angle KLM$ в параллелограмме $KLMN$. Углы $\angle NKL$ и $\angle KLM$ являются соседними углами параллелограмма, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle KLM = 180^\circ - \angle NKL$

$\angle KLM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

20.84. Диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Её основанием является квадрат, а диагональным сечением — треугольник, проходящий через вершину пирамиды и диагональ основания. Обозначим этот треугольник $\triangle ASC$, где $S$ — вершина пирамиды, а $AC$ — диагональ квадрата в основании.

Поскольку пирамида правильная, её боковые рёбра, образующие сечение, равны: $SA = SC$. Следовательно, $\triangle ASC$ является равнобедренным.

По условию задачи, $\triangle ASC$ — прямоугольный. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию. Таким образом, $\angle ASC = 90^\circ$. Это означает, что боковые рёбра $SA$ и $SC$ являются катетами, а диагональ основания $AC$ — гипотенузой этого треугольника.

Площадь диагонального сечения, по условию, равна $S$. Для прямоугольного треугольника $\triangle ASC$ она вычисляется как половина произведения катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SC$

Так как $SA = SC$, формула принимает вид:$S = \frac{1}{2} \cdot SA^2$Отсюда выражаем квадрат бокового ребра:$SA^2 = 2S$

По теореме Пифагора для $\triangle ASC$:$AC^2 = SA^2 + SC^2 = 2 \cdot SA^2$Подставим найденное выражение для $SA^2$:$AC^2 = 2 \cdot (2S) = 4S$

Площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) — это площадь квадрата. Площадь квадрата можно выразить через его диагональ ($d$) по формуле:$S_{осн} = \frac{d^2}{2}$

В нашем случае диагональ основания это $d = AC$. Подставим в эту формулу найденное значение $AC^2$:$S_{осн} = \frac{AC^2}{2} = \frac{4S}{2} = 2S$

Ответ: $2S$

20.85. Боковое ребро правильной пирамиды $MABCD$ равно стороне основания.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной плоскости $AMD$.

2) Найдите отношение площади сечения к площади основания пирамиды.

Пусть $MABCD$ — заданная правильная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный многоугольник (в данном случае квадрат $ABCD$), а вершина $M$ проецируется в центр основания. По условию, боковое ребро равно стороне основания. Обозначим длину стороны основания за $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$ и $MA = MB = MC = MD = a$.

Это означает, что все боковые грани пирамиды ($MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Пусть секущая плоскость называется $\alpha$.

1. Обозначим середину ребра $AB$ точкой $K$. По условию, точка $K$ принадлежит плоскости сечения $\alpha$.

2. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(AMD)$. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

3. Рассмотрим плоскость грани $MAB$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $AM$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(MAB)$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AM$. Проведем в треугольнике $MAB$ прямую $KP$ параллельно $AM$, где точка $P$ лежит на ребре $MB$. Так как $K$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса $P$ — середина $MB$. Отрезок $KP$ — линия сечения.

4. Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $AD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AD$. Проведем в квадрате $ABCD$ прямую $KL$ параллельно $AD$, где точка $L$ лежит на ребре $CD$. Так как $K$ — середина $AB$ и $KL || AD$, то $KL$ — средняя линия трапеции $ABCD$ (квадрат можно рассматривать как трапецию), и точка $L$ является серединой ребра $CD$. Отрезок $KL$ — линия сечения.

5. Рассмотрим плоскость грани $MCD$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $MD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(MCD)$ по прямой, проходящей через точку $L$ и параллельной $MD$. Проведем в треугольнике $MCD$ прямую $LQ$ параллельно $MD$, где точка $Q$ лежит на ребре $MC$. Так как $L$ — середина $CD$, то $Q$ — середина $MC$. Отрезок $LQ$ — линия сечения.

6. Соединим точки $P$ (середина $MB$) и $Q$ (середина $MC$). Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $MBC$, следовательно, $PQ || BC$.

Таким образом, мы получили четыре точки $K$, $P$, $Q$, $L$, лежащие в одной плоскости $\alpha$. Соединив их, получаем искомое сечение — четырехугольник $KPQL$.

Так как $KL || AD$ и $AD || BC$, то $KL || BC$. Также мы выяснили, что $PQ || BC$. Следовательно, $KL || PQ$, и четырехугольник $KPQL$ является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $KPQL$, где $K$, $P$, $Q$, $L$ — середины ребер $AB$, $MB$, $MC$ и $CD$ соответственно.

Найдем площадь основания и площадь сечения. Пусть сторона основания равна $a$.

Площадь основания (квадрата $ABCD$) равна: $S_{осн} = a^2$

Теперь найдем площадь сечения — трапеции $KPQL$.

- Основание $KL$ является средней линией квадрата $ABCD$ (соединяет середины сторон $AB$ и $CD$), поэтому ее длина равна стороне $AD$: $KL = a$.

- Основание $PQ$ является средней линией треугольника $MBC$, поэтому ее длина равна половине стороны $BC$: $PQ = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

- Боковая сторона $KP$ является средней линией равностороннего треугольника $MAB$: $KP = \frac{MA}{2} = \frac{a}{2}$.

- Боковая сторона $LQ$ является средней линией равностороннего треугольника $MCD$: $LQ = \frac{MD}{2} = \frac{a}{2}$.

Так как боковые стороны $KP$ и $LQ$ равны ($KP=LQ=\frac{a}{2}$), трапеция $KPQL$ является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции $S_{сеч} = \frac{KL+PQ}{2} \cdot h_{сеч}$ нам нужна ее высота $h_{сеч}$. Проведем высоту из точки $P$ к основанию $KL$. Пусть ее основание — точка $H$. Длина отрезка $KH$ в равнобедренной трапеции равна полуразности оснований: $KH = \frac{KL - PQ}{2} = \frac{a - \frac{a}{2}}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHP$. Его гипотенуза $KP = \frac{a}{2}$, катет $KH = \frac{a}{4}$. По теореме Пифагора найдем второй катет — высоту трапеции $h_{сеч} = PH$: $h_{сеч}^2 = KP^2 - KH^2 = (\frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{4})^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{16} = \frac{4a^2 - a^2}{16} = \frac{3a^2}{16}$ $h_{сеч} = \sqrt{\frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Теперь можем вычислить площадь трапеции (сечения): $S_{сеч} = \frac{KL+PQ}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{16}$

Найдем искомое отношение площади сечения к площади основания: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}a^2}{16}}{a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{16}$

20.86. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, а $S$ - ее вершина. Обозначим высоту пирамиды, опущенную из вершины $S$ на плоскость основания, как $SO = h$. Точка $O$ — основание высоты.

По условию, одна из сторон прямоугольника равна $a$. Пусть это будет сторона $AB$, то есть $AB = a$. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $\alpha$. Рассмотрим диагональ $AC$. Тогда угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ есть $\angle CAB = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). В этом треугольнике мы знаем катет $AB = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$. Мы можем найти длину гипотенузы $AC$ (диагонали прямоугольника) используя косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{AC}$

Отсюда выразим диагональ $AC$:

$AC = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

По условию, каждое боковое ребро пирамиды ($SA, SB, SC, SD$) образует с плоскостью основания угол $\beta$. Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость.

Проекциями боковых ребер $SA, SB, SC, SD$ на плоскость основания $ABCD$ являются отрезки $OA, OB, OC, OD$ соответственно. Следовательно, углы, которые боковые ребра образуют с плоскостью основания, это $\angle SAO = \beta$, $\angle SBO = \beta$, $\angle SCO = \beta$ и $\angle SDO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$. Все они прямоугольные, так как $SO$ — высота, то есть $SO \perp (ABCD)$. У этих треугольников общий катет $SO = h$ и равные острые углы при основании ($\beta$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов:

$OA = OB = OC = OD$

Это означает, что точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех вершин прямоугольника $ABCD$. В прямоугольнике единственная такая точка — это точка пересечения его диагоналей.

Таким образом, точка $O$ является центром прямоугольника и делит диагонали пополам. В частности, $OC$ равно половине диагонали $AC$:

$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Теперь вернемся к одному из прямоугольных треугольников, например, к $\triangle SOC$. Мы знаем длину катета $OC$ и величину угла $\angle SCO = \beta$. Высота пирамиды $h = SO$ является другим катетом этого треугольника. Используя определение тангенса угла, получаем:

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OC}$

Отсюда выражаем высоту $h=SO$:

$h = OC \cdot \tan(\beta)$

Подставим ранее найденное выражение для $OC$:

$h = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$

Ответ: Высота пирамиды равна $h = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.

20.87. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, большее основание которой равно 15 см, боковая сторона – 10 см. Двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в данную равнобокую трапецию можно вписать окружность.

Свойство описанной около окружности трапеции (и любого описанного четырехугольника) гласит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Обозначим большее основание как $a=15$ см, меньшее основание как $b$, а боковую сторону как $c=10$ см. Тогда:

$a + b = c + c$

$15 + b = 10 + 10$

$15 + b = 20$

$b = 5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок $x$, длина которого равна:

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции и отрезком $x$ (катеты). По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь можно вычислить площадь основания трапеции:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{15+5}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{20}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 10 \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, связана с площадью основания формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha}$

По условию, $\alpha = 60°$.

$S_{бок} = \frac{50\sqrt{3}}{\cos(60°)} = \frac{50\sqrt{3}}{1/2} = 100\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности.

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 50\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $150\sqrt{3}$ см$^2$.

20.88. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 40 см и 30 см, а высота пирамиды равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при рёбрах её основания равны.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ находится как сумма площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является ромб с диагоналями $d_1 = 40$ см и $d_2 = 30$ см. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \text{ см}^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ для пирамиды, у которой двугранные углы при рёбрах основания равны, вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны $\frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см, а его гипотенуза — это сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$.

Периметр ромба: $P = 4a = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}$.

Так как двугранные углы при рёбрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в ромб окружности, а все апофемы пирамиды равны. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема $h_a$ образуют прямоугольный треугольник. Для нахождения апофемы сначала нужно найти радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = 2ar$.

Отсюда выразим радиус: $r = \frac{S_{осн}}{2a} = \frac{600}{2 \cdot 25} = \frac{600}{50} = 12 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$, зная высоту пирамиды $H = 5$ см и радиус $r=12$ см:

$h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 13 = 650 \text{ см}^2$.

3. Нахождение площади полной поверхности

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 600 + 650 = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.

20.89. Основанием пирамиды $DABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Плоскости $ABD$ и $ACD$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AB = 26$ см, $BC = 10$ см, $AD = 18$ см.

По условию, плоскости боковых граней ABD и ACD перпендикулярны плоскости основания ABC. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Плоскости ABD и ACD пересекаются по прямой AD. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Из перпендикулярности ребра AD плоскости основания следует, что ребро AD перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку A. В частности, $AD \perp AC$ и $AD \perp AB$. Это означает, что боковые грани ACD и ABD являются прямоугольными треугольниками с прямыми углами при вершине A.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как сумма площадей ее боковых граней:$S_{бок} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle DBC}$.

Для вычисления площадей нам понадобятся длины сторон треугольников.

1. Нахождение катета AC в основании
Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник ABC ($∠ACB = 90°$), в котором известны гипотенуза $AB = 26$ см и катет $BC = 10$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения второго катета AC:
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$.
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

2. Вычисление площади грани ACD
Грань ACD — это прямоугольный треугольник ($∠DAC = 90°$) с катетами $AD = 18$ см и $AC = 24$ см. Его площадь равна:
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216 \text{ см}^2$.

3. Вычисление площади грани ABD
Грань ABD — это прямоугольный треугольник ($∠DAB = 90°$) с катетами $AD = 18$ см и $AB = 26$ см. Его площадь равна:
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 26 = 234 \text{ см}^2$.

4. Вычисление площади грани DBC
Рассмотрим грань DBC. Так как $AD \perp (ABC)$, то AD — перпендикуляр к плоскости основания. Отрезок DC является наклонной, а AC — ее проекцией на плоскость основания. Прямая BC, лежащая в плоскости основания, перпендикулярна проекции AC ($∠ACB = 90°$). По теореме о трех перпендикулярах, прямая BC также перпендикулярна наклонной DC. Следовательно, $∠DCB = 90°$, и треугольник DBC является прямоугольным.
Для расчета его площади найдем длину катета DC из прямоугольного треугольника ACD по теореме Пифагора:
$DC^2 = AD^2 + AC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$.
$DC = \sqrt{900} = 30$ см.
Теперь найдем площадь треугольника DBC:
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 30 = 150 \text{ см}^2$.

5. Вычисление полной площади боковой поверхности
Сложим площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle DBC} = 216 + 234 + 150 = 600 \text{ см}^2$.

Ответ: $600 \text{ см}^2$.

20.90. Основанием пирамиды является квадрат, а одно из боковых рёбер равно стороне этого квадрата и перпендикулярно плоскости основания. Найдите двугранные углы пирамиды при рёбрах её основания.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$, а одно из боковых рёбер, например $SA$, перпендикулярно плоскости основания. Пусть сторона квадрата равна $a$. По условию, длина ребра $SA$ также равна $a$. Нам нужно найти двугранные углы при рёбрах основания $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, мерой которого является линейный угол. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в этих плоскостях из одной точки.

Двугранные углы при рёбрах $DA$ и $AB$
Рассмотрим двугранный угол при ребре $DA$. Он образован плоскостью основания $(ABCD)$ и боковой гранью $(SDA)$. Так как ребро $SA$ по условию перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то любая плоскость, содержащая $SA$, также перпендикулярна плоскости основания. Грань $(SDA)$ содержит $SA$, следовательно, плоскость $(SDA)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Таким образом, двугранный угол при ребре $DA$ равен $90^\circ$.
Аналогично, грань $(SAB)$ содержит ребро $SA$, поэтому плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Двугранный угол при ребре $AB$ также равен $90^\circ$.

Двугранный угол при ребре $BC$
Этот угол образован плоскостями $(SBC)$ и $(ABCD)$. Линией их пересечения является ребро $BC$.
Для нахождения линейного угла воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. В плоскости основания $(ABCD)$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как $ABCD$ — квадрат. $SA$ — это перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SB$ — наклонная, а $AB$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$.
Итак, мы имеем два перпендикуляра к ребру $BC$ в точке $B$: $AB$ в плоскости основания и $SB$ в плоскости грани $(SBC)$. Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом искомого двугранного угла.
Найдём его величину из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ (угол $\angle SAB = 90^\circ$, так как $SA \perp (ABCD)$). По условию $SA=a$ и $AB=a$. Следовательно, $\triangle SAB$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$, значит, $\angle SBA = 45^\circ$.

Двугранный угол при ребре $CD$
Рассмотрим двугранный угол при ребре $CD$. Он образован плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$. Их линия пересечения — ребро $CD$.
Действуем аналогично. В плоскости основания $AD \perp CD$. $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SD$ — наклонная, $AD$ — её проекция. Так как проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CD$, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SD$ также перпендикулярна $CD$.
Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SDA$, так как $AD \perp CD$ и $SD \perp CD$.
Найдём величину угла $\angle SDA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAD$ (угол $\angle SAD = 90^\circ$). По условию $SA=a$ и $AD=a$. Треугольник $\triangle SAD$ является равнобедренным прямоугольным, поэтому $\angle SDA = 45^\circ$.

Ответ: Два двугранных угла равны $90^\circ$, а два других — $45^\circ$.

20.91. Ромб $ABCD$ является основанием пирамиды $MABCD$, $AB = 10$ см, $\angle BAD = 60^{\circ}$. Плоскости $ABM$ и $ADM$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а плоскости $BCM$ и $DCM$ образуют с плоскостью основания углы по $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку плоскости $ABM$ и $ADM$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, то их линия пересечения, ребро $AM$, также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $AM$ — высота пирамиды, а грани $ABM$ и $ADM$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом $A$.

Основание пирамиды — ромб $ABCD$ со стороной $a = 10$ см и углом $\angle BAD = 60^{\circ}$. Смежный угол ромба $\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

По условию, плоскости $BCM$ и $DCM$ образуют с плоскостью основания углы по $60^{\circ}$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Построим его для грани $BCM$. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AK$ к стороне $BC$ в плоскости основания. Так как $AM \perp (ABC)$, то $AM$ — перпендикуляр, а $AK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость основания. Поскольку проекция $AK$ перпендикулярна прямой $BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $MK$ перпендикулярна $BC$. Таким образом, $MK$ является высотой (апофемой) грани $BCM$, а угол $\angle MKA$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостью $BCM$ и плоскостью основания. По условию, $\angle MKA = 60^{\circ}$.

Найдём длину высоты $AK$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Его площадь можно вычислить двумя способами: 1. $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^{\circ}) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$. 2. $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AK = 5 \cdot AK$. Приравнивая два выражения для площади, получаем: $5 \cdot AK = 25\sqrt{3}$, откуда $AK = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $AMK$ (где $\angle MAK = 90^{\circ}$) найдём высоту пирамиды $AM$: $\tan(\angle MKA) = \frac{AM}{AK} \implies AM = AK \cdot \tan(60^{\circ}) = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 15$ см.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей её четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM} + S_{\triangle BCM} + S_{\triangle DCM}$.

1. Найдём площади прямоугольных треугольников $ABM$ и $ADM$: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75$ см$^2$. Поскольку ромб имеет равные стороны $AD = AB = 10$ см, то $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} AD \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75$ см$^2$.

2. Найдём площади треугольников $BCM$ и $DCM$. Площадь треугольника $BCM$ равна $S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} BC \cdot MK$. Найдём апофему $MK$ из прямоугольного треугольника $AMK$: $\cos(\angle MKA) = \frac{AK}{MK} \implies MK = \frac{AK}{\cos(60^{\circ})} = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$ см. Тогда $S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

В силу симметрии ромба относительно диагонали $AC$, треугольники $ABC$ и $ADC$ равны. Следовательно, высота из $A$ к стороне $CD$ также равна $5\sqrt{3}$ см. Поскольку угол между гранью $DCM$ и основанием также равен $60^{\circ}$, то треугольники $BCM$ и $DCM$ равны. Таким образом, их площади равны: $S_{\triangle DCM} = S_{\triangle BCM} = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Вычислим общую площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM} + S_{\triangle BCM} + S_{\triangle DCM} = 75 + 75 + 50\sqrt{3} + 50\sqrt{3} = 150 + 100\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $150 + 100\sqrt{3}$ см$^2$.