Номер 87, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 87, страница 194.

Условие.

20.87. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, большее основание которой равно 15 см, боковая сторона – 10 см. Двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в данную равнобокую трапецию можно вписать окружность.

Свойство описанной около окружности трапеции (и любого описанного четырехугольника) гласит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Обозначим большее основание как $a=15$ см, меньшее основание как $b$, а боковую сторону как $c=10$ см. Тогда:

$a + b = c + c$

$15 + b = 10 + 10$

$15 + b = 20$

$b = 5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок $x$, длина которого равна:

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции и отрезком $x$ (катеты). По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь можно вычислить площадь основания трапеции:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{15+5}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{20}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 10 \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, связана с площадью основания формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha}$

По условию, $\alpha = 60°$.

$S_{бок} = \frac{50\sqrt{3}}{\cos(60°)} = \frac{50\sqrt{3}}{1/2} = 100\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности.

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 50\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $150\sqrt{3}$ см$^2$.