Номер 83, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 83, страница 194.

Условие.

20.83. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см, а площадь боковой поверхности – $312 \text{ см}^2$. Расстояние между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно 5 см, а между рёбрами $BB_1$ и $DD_1$ – 19 см. Найдите двугранные углы при рёбрах $AA_1$ и $BB_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина бокового ребра $l = AA_1 = 6$ см, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 312$ см².

Площадь боковой поверхности наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его боковым рёбрам. В данном случае перпендикулярное сечение является параллелограммом. Обозначим его $KLMN$, где вершины $K, L, M, N$ лежат на боковых рёбрах $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно.

Найдем периметр этого параллелограмма:

$P_{KLMN} = \frac{S_{бок}}{l} = \frac{312}{6} = 52$ см.

Длина стороны перпендикулярного сечения равна расстоянию между соответствующими боковыми рёбрами. Расстояние между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно длине стороны $KL$. По условию, это расстояние равно 5 см, следовательно, $KL = 5$ см. Так как $KLMN$ — параллелограмм, то $MN = KL = 5$ см.

Периметр параллелограмма $KLMN$ равен $P_{KLMN} = 2(KL + KN)$. Подставим известные значения:

$52 = 2(5 + KN)$

$26 = 5 + KN$

$KN = 21$ см.

Таким образом, стороны перпендикулярного сечения равны 5 см и 21 см.

Расстояние между противоположными боковыми рёбрами $BB_1$ и $DD_1$ равно длине диагонали $LN$ перпендикулярного сечения $KLMN$ (так как плоскость сечения перпендикулярна этим рёбрам). По условию, это расстояние равно 19 см, следовательно, диагональ $LN = 19$ см.

Двугранные углы при боковых рёбрах параллелепипеда равны соответствующим углам его перпендикулярного сечения. Нам нужно найти величину угла $\angle NKL$ (двугранный угол при ребре $AA_1$) и угла $\angle KLM$ (двугранный угол при ребре $BB_1$).

Двугранный угол при ребре AA₁

Этот угол равен углу $\angle NKL$ в параллелограмме $KLMN$. Рассмотрим треугольник $NKL$. Его стороны равны $KL = 5$ см, $KN = 21$ см, а диагональ $LN = 19$ см. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle NKL$:

$LN^2 = KL^2 + KN^2 - 2 \cdot KL \cdot KN \cdot \cos(\angle NKL)$

$19^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos(\angle NKL)$

$361 = 25 + 441 - 210 \cdot \cos(\angle NKL)$

$361 = 466 - 210 \cdot \cos(\angle NKL)$

$210 \cdot \cos(\angle NKL) = 466 - 361$

$210 \cdot \cos(\angle NKL) = 105$

$\cos(\angle NKL) = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\angle NKL = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Двугранный угол при ребре BB₁

Этот угол равен углу $\angle KLM$ в параллелограмме $KLMN$. Углы $\angle NKL$ и $\angle KLM$ являются соседними углами параллелограмма, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle KLM = 180^\circ - \angle NKL$

$\angle KLM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.