Номер 76, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 76, страница 193.

Условие.

20.76. Дана прямая призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 BC$ равен $\beta$. Найдите высоту призмы, если $BC = a$, $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота призмы. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, ее высота равна длине бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$.

Для построения линейного угла необходимо в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $BC$ в одной и той же точке.

1. В плоскости основания $(ABC)$ треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Таким образом, $AC \perp BC$.

2. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Рассмотрим наклонную $A_1C$ и ее проекцию $AC$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1C$ перпендикулярна прямой $BC$.

Таким образом, $\angle A_1CA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC)$. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle A_1CA = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AC$. Так как $AA_1 \perp (ABC)$, то $AA_1 \perp AC$. Следовательно, $\triangle A_1AC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle A_1AC$. В этом треугольнике:

$\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC}$

$\tan(\beta) = \frac{H}{AC}$

Отсюда высота призмы $H = AC \cdot \tan(\beta)$.

Теперь найдем длину катета $AC$ из основания призмы — прямоугольного треугольника $\triangle ABC$. Нам известны катет $BC=a$ и противолежащий ему угол $\angle BAC = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\cot(\angle BAC) = \frac{AC}{BC}$

$\cot(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда $AC = a \cdot \cot(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для $AC$ в формулу для высоты $H$:

$H = (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.