Номер 71, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 71, страница 193.

Условие.

20.71. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 25 см, а диагональ боковой грани – 20 см. Найдите высоту призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат. Боковые грани являются прямоугольниками.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его диагональ $d_{бок}$ по теореме Пифагора равна:$d_{бок}^2 = a^2 + h^2$

По условию задачи $d_{бок} = 20$ см. Подставим это значение в формулу:$20^2 = a^2 + h^2$$400 = a^2 + h^2$

Теперь рассмотрим диагональ всей призмы $D$. Она, высота призмы $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для этого треугольника:$D^2 = d_{осн}^2 + h^2$

Основание призмы — квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d_{осн}$ находится по теореме Пифагора:$d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим выражение для квадрата диагонали основания в формулу для квадрата диагонали призмы:$D^2 = 2a^2 + h^2$

По условию задачи $D = 25$ см. Подставим это значение:$25^2 = 2a^2 + h^2$$625 = 2a^2 + h^2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} a^2 + h^2 = 400 \\ 2a^2 + h^2 = 625 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a^2$:$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 625 - 400$$a^2 = 225$

Теперь подставим найденное значение $a^2$ в первое уравнение, чтобы найти $h$:$225 + h^2 = 400$$h^2 = 400 - 225$$h^2 = 175$$h = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$ см.

Ответ: $5\sqrt{7}$ см.