Номер 68, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 68, страница 192.

Условие.

20.68. Докажите, что если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости и линии пересечения данных плоскостей с третьей плоскостью параллельны, то эти плоскости параллельны.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскость $\alpha \perp$ плоскости $\gamma$.
Плоскость $\beta \perp$ плоскости $\gamma$.
Прямая $a = \alpha \cap \gamma$.
Прямая $b = \beta \cap \gamma$.
$a \parallel b$.

Доказать:
$\alpha \parallel \beta$.

Доказательство:

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$.

Выберем на прямой $c$ произвольную точку $M$. Так как $M \in c$, то точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$).

Из точки $M$ проведём перпендикуляр к плоскости $\gamma$. Обозначим эту прямую-перпендикуляр как $p$. По определению, $p \perp \gamma$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если из точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр ко второй плоскости, то этот перпендикуляр будет лежать в первой плоскости.

Так как $M \in \alpha$ и $\alpha \perp \gamma$, то перпендикуляр $p$, проведённый из точки $M$ к плоскости $\gamma$, лежит в плоскости $\alpha$ ($p \subset \alpha$).

Аналогично, так как $M \in \beta$ и $\beta \perp \gamma$, то тот же самый перпендикуляр $p$ лежит в плоскости $\beta$ ($p \subset \beta$).

Таким образом, прямая $p$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что прямая $p$ является линией их пересечения. Следовательно, $p = c$.

Из этого следует, что прямая пересечения $c$ плоскостей $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$ в точке $P$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $c$, она принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Также точка $P$ лежит в плоскости $\gamma$.

Так как $P \in \alpha$ и $P \in \gamma$, то точка $P$ принадлежит линии их пересечения, то есть прямой $a$. Итак, $P \in a$.

Так как $P \in \beta$ и $P \in \gamma$, то точка $P$ принадлежит линии их пересечения, то есть прямой $b$. Итак, $P \in b$.

Получается, что прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $P$, то есть они пересекаются.

Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые не имеют общих точек.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, а линии их пересечения с этой третьей плоскостью параллельны, то эти две плоскости параллельны.