Номер 74, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 74, страница 193.

Условие.

20.74. Высота прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 12 см, $AC=BC, AB=8$ см, диагональ грани $BB_1C_1C$ равна 13 см. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям ($ABC$ и $A_1B_1C_1$). Сечение, о котором идет речь в задаче, проходит через прямую $AB$ и точку $C_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ABC_1$. Чтобы найти его площадь, нам нужно определить длины его сторон, а затем найти высоту.

1. Найдем длину стороны основания $BC$. По условию, призма прямая, следовательно, боковая грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником. Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с катетами $BC$ и $CC_1$ и гипотенузой $BC_1$. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $CC_1 = 12$ см. Диагональ грани $BC_1 = 13$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $BCC_1$:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$13^2 = BC^2 + 12^2$

$169 = BC^2 + 144$

$BC^2 = 169 - 144 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Определим стороны треугольника-сечения $ABC_1$.

По условию, основание призмы — треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$. Поскольку мы нашли, что $BC=5$ см, то и $AC=5$ см. Длина стороны $AB$ дана и равна 8 см.

Стороны сечения $ABC_1$ это $AB$, $BC_1$ и $AC_1$.

• $AB = 8$ см (дано).
• $BC_1 = 13$ см (дано).
• Сторону $AC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $ACC_1$ (грань $AA_1C_1C$ — прямоугольник). По теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $AC_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Таким образом, сечение $ABC_1$ является равнобедренным треугольником с основанием $AB = 8$ см и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = 13$ см.

3. Найдем площадь треугольника $ABC_1$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $C_1M$ из вершины $C_1$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AB$.

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:

$AC_1^2 = AM^2 + C_1M^2$

$13^2 = 4^2 + C_1M^2$

$169 = 16 + C_1M^2$

$C_1M^2 = 169 - 16 = 153$

$C_1M = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.

4. Вычислим площадь сечения $S_{ABC_1}$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{17} = 4 \cdot 3\sqrt{17} = 12\sqrt{17}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{17}$ см$^2$.