Номер 77, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 77, страница 193.

Условие.

20.77. Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и соседней боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$, а боковое ребро (высота) равно $h$. По условию $h = 8$ см.

Рассмотрим диагональ $A_1B$ боковой грани $ABB_1A_1$ и соседнюю с ней боковую грань $ACC_1A_1$. Угол между прямой (диагональю $A_1B$) и плоскостью (гранью $ACC_1A_1$) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для построения проекции опустим перпендикуляр из точки $B$ на плоскость грани $ACC_1A_1$. Так как призма правильная, её боковые грани перпендикулярны основаниям. Проведём в основании $ABC$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний, $BH$ является также и медианой. В правильной призме плоскость основания $(ABC)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$, поэтому перпендикуляр $BH$ к их линии пересечения $AC$ будет перпендикулярен всей плоскости $(ACC_1A_1)$.

Таким образом, $BH \perp (ACC_1A_1)$. Тогда отрезок $A_1H$ является проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость грани $ACC_1A_1$. Угол между диагональю $A_1B$ и её проекцией $A_1H$ — это $\angle BA_1H$. По условию $\angle BA_1H = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BA_1H$ (угол $\angle BHA_1 = 90^\circ$, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости). Длина высоты $BH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ вычисляется по формуле: $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BA_1H$ из соотношения сторон и углов имеем: $\sin(\angle BA_1H) = \frac{BH}{A_1B}$. $\sin(30^\circ) = \frac{BH}{A_1B} \implies \frac{1}{2} = \frac{BH}{A_1B}$. Отсюда $A_1B = 2 \cdot BH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$, так как боковая грань — прямоугольник). По теореме Пифагора: $A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2$. Подставим известные величины: $A_1B = a\sqrt{3}$, $AA_1 = h = 8$ см, $AB = a$. $(a\sqrt{3})^2 = 8^2 + a^2$ $3a^2 = 64 + a^2$ $2a^2 = 64$ $a^2 = 32$ $a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр основания: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12\sqrt{2} \cdot 8 = 96\sqrt{2}$ см².

Ответ: $96\sqrt{2}$ см².