Номер 82, страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 82, страница 193.

Условие.

20.82. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Площадь такого ромба равна $S_{осн} = a^2 \sin\alpha$. Следовательно, площадь двух оснований составляет $2S_{осн} = 2a^2 \sin\alpha$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту параллелепипеда $H$. Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4aH$. Для нахождения $S_{бок}$ необходимо определить высоту $H$.

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является меньшая диагональ ромба, обозначим ее $d_1$. Высота параллелепипеда $H$, меньшая диагональ основания $d_1$ и меньшая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике тангенс угла $\beta$ равен отношению высоты $H$ к диагонали основания $d_1$: $\tan\beta = \frac{H}{d_1}$, откуда $H = d_1 \tan\beta$.

Найдем длину меньшей диагонали ромба $d_1$. Она лежит напротив острого угла $\alpha$. Из треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d_1$, по теореме косинусов имеем:$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$.Применив формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.Следовательно, $d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти высоту параллелепипеда:$H = d_1 \tan\beta = 2a\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta$.

Подставим найденную высоту в формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = 4aH = 4a \cdot (2a\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta) = 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta$.

Наконец, найдем площадь полной поверхности, сложив площади оснований и боковой поверхности:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2\sin\alpha + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta$.Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$S_{полн} = 2a^2(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta = 4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta$.Вынесем общий множитель $4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:$S_{полн} = 4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2\tan\beta)$.

Ответ: $4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2\tan\beta)$.