Страница 193 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.70. Проекцией трапеции, площадь которой равна $40\sqrt{2}$ см$^2$, является равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 13 см и боковой стороной 5 см. Найдите угол между плоскостями данных трапеций.

Пусть $S$ - площадь исходной трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее проекции (равнобокой трапеции). Угол между плоскостями этих трапеций обозначим как $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры следующей формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$.

Из этой формулы можно выразить косинус угла между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$.

По условию задачи нам дана площадь исходной трапеции $S = 40\sqrt{2}$ см².

Теперь найдем площадь проекции, которой является равнобокая трапеция. Даны ее основания $a = 13$ см и $b = 7$ см, а также боковая сторона $c = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

Чтобы найти высоту равнобокой трапеции, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - это боковая сторона трапеции ($c=5$ см), один из катетов - это высота ($h$), а второй катет равен полуразности оснований.

Найдем длину этого катета:$\frac{a-b}{2} = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h^2 + 3^2 = 5^2$$h^2 + 9 = 25$$h^2 = 25 - 9 = 16$$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь равнобокой трапеции (проекции):$S_{пр} = \frac{13 + 7}{2} \cdot 4 = \frac{20}{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Наконец, найдем косинус угла между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

20.71. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 25 см, а диагональ боковой грани – 20 см. Найдите высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат. Боковые грани являются прямоугольниками.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его диагональ $d_{бок}$ по теореме Пифагора равна:$d_{бок}^2 = a^2 + h^2$

По условию задачи $d_{бок} = 20$ см. Подставим это значение в формулу:$20^2 = a^2 + h^2$$400 = a^2 + h^2$

Теперь рассмотрим диагональ всей призмы $D$. Она, высота призмы $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для этого треугольника:$D^2 = d_{осн}^2 + h^2$

Основание призмы — квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d_{осн}$ находится по теореме Пифагора:$d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим выражение для квадрата диагонали основания в формулу для квадрата диагонали призмы:$D^2 = 2a^2 + h^2$

По условию задачи $D = 25$ см. Подставим это значение:$25^2 = 2a^2 + h^2$$625 = 2a^2 + h^2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} a^2 + h^2 = 400 \\ 2a^2 + h^2 = 625 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a^2$:$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 625 - 400$$a^2 = 225$

Теперь подставим найденное значение $a^2$ в первое уравнение, чтобы найти $h$:$225 + h^2 = 400$$h^2 = 400 - 225$$h^2 = 175$$h = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$ см.

Ответ: $5\sqrt{7}$ см.

20.72. Стороны основания прямой треугольной призмы относятся как 15 : 10 : 9. Найдите стороны основания, если площадь боковой поверхности призмы равна $816 \, \text{см}^2$, а боковое ребро призмы $- 12 \, \text{см}$.

Пусть стороны основания прямой треугольной призмы равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, их отношение равно $15:10:9$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны основания можно выразить следующим образом:
$a = 15x$ см,
$b = 10x$ см,
$c = 9x$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$,
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы (которая в прямой призме равна боковому ребру).

Найдем периметр основания $P_{осн}$, сложив длины его сторон:
$P_{осн} = a + b + c = 15x + 10x + 9x = 34x$ см.

По условию задачи, площадь боковой поверхности $S_{бок} = 816$ см², а боковое ребро $h = 12$ см. Подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности и решим полученное уравнение относительно $x$:
$816 = (34x) \cdot 12$
$816 = 408x$
$x = \frac{816}{408}$
$x = 2$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности $x$, мы можем найти длины сторон основания:
$a = 15x = 15 \cdot 2 = 30$ см
$b = 10x = 10 \cdot 2 = 20$ см
$c = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см

Ответ: 30 см, 20 см, 18 см.

20.73. Сечением наклонной четырёхугольной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность, а основания этой трапеции равны 5 см и 7 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

В данной задаче перпендикулярным сечением является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Длина бокового ребра призмы $l = 8$ см.

Основания трапеции равны $a = 7$ см и $b = 5$ см. Обозначим боковые стороны трапеции как $c$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны.

Ключевым свойством любого описанного четырехугольника (четырехугольника, в который можно вписать окружность) является то, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c + c$

$a + b = 2c$

Периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$ — это периметр трапеции:

$P_{\perp} = a + b + c + c = a + b + 2c$

Используя свойство описанного четырехугольника, мы можем заменить $2c$ на $a+b$:

$P_{\perp} = (a + b) + (a + b) = 2(a + b)$

Подставим числовые значения оснований $a$ и $b$:

$P_{\perp} = 2(7 + 5) = 2(12) = 24$ см.

Теперь, зная периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем найти площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.

Ответ: 192 см².

20.74. Высота прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 12 см, $AC=BC, AB=8$ см, диагональ грани $BB_1C_1C$ равна 13 см. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям ($ABC$ и $A_1B_1C_1$). Сечение, о котором идет речь в задаче, проходит через прямую $AB$ и точку $C_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ABC_1$. Чтобы найти его площадь, нам нужно определить длины его сторон, а затем найти высоту.

1. Найдем длину стороны основания $BC$. По условию, призма прямая, следовательно, боковая грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником. Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с катетами $BC$ и $CC_1$ и гипотенузой $BC_1$. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $CC_1 = 12$ см. Диагональ грани $BC_1 = 13$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $BCC_1$:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$13^2 = BC^2 + 12^2$

$169 = BC^2 + 144$

$BC^2 = 169 - 144 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Определим стороны треугольника-сечения $ABC_1$.

По условию, основание призмы — треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$. Поскольку мы нашли, что $BC=5$ см, то и $AC=5$ см. Длина стороны $AB$ дана и равна 8 см.

Стороны сечения $ABC_1$ это $AB$, $BC_1$ и $AC_1$.

• $AB = 8$ см (дано).
• $BC_1 = 13$ см (дано).
• Сторону $AC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $ACC_1$ (грань $AA_1C_1C$ — прямоугольник). По теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $AC_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Таким образом, сечение $ABC_1$ является равнобедренным треугольником с основанием $AB = 8$ см и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = 13$ см.

3. Найдем площадь треугольника $ABC_1$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $C_1M$ из вершины $C_1$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AB$.

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:

$AC_1^2 = AM^2 + C_1M^2$

$13^2 = 4^2 + C_1M^2$

$169 = 16 + C_1M^2$

$C_1M^2 = 169 - 16 = 153$

$C_1M = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.

4. Вычислим площадь сечения $S_{ABC_1}$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{17} = 4 \cdot 3\sqrt{17} = 12\sqrt{17}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{17}$ см$^2$.

20.75. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, наибольшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Периметр такого шестиугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = 6a$

Наибольшая диагональ призмы соединяет две наиболее удаленные друг от друга вершины. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наибольшей диагональю призмы ($D$), высотой призмы ($H$) и наибольшей диагональю основания ($d$). В этом треугольнике $H$ и $d$ являются катетами, а $D$ — гипотенузой. Угол наклона наибольшей диагонали призмы к плоскости основания, по условию равный $\alpha$, — это угол между диагональю $D$ и её проекцией на основание, то есть диагональю $d$.

Наибольшая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ проходит через его центр и равна двум его сторонам:

$d = 2a$

Теперь из указанного прямоугольного треугольника мы можем найти высоту призмы $H$. Катет $H$ противолежит углу $\alpha$, а катет $d$ — прилежит к нему. Воспользуемся определением тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{d}$

Выразим высоту $H$:

$H = d \cdot \tan(\alpha) = 2a \tan(\alpha)$

Подставим найденные значения периметра основания $P_{осн}$ и высоты $H$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 6a \cdot (2a \tan(\alpha)) = 12a^2 \tan(\alpha)$

Ответ: $12a^2 \tan(\alpha)$

20.76. Дана прямая призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 BC$ равен $\beta$. Найдите высоту призмы, если $BC = a$, $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$.

Пусть $H$ — высота призмы. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, ее высота равна длине бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$.

Для построения линейного угла необходимо в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $BC$ в одной и той же точке.

1. В плоскости основания $(ABC)$ треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Таким образом, $AC \perp BC$.

2. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Рассмотрим наклонную $A_1C$ и ее проекцию $AC$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1C$ перпендикулярна прямой $BC$.

Таким образом, $\angle A_1CA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC)$. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle A_1CA = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AC$. Так как $AA_1 \perp (ABC)$, то $AA_1 \perp AC$. Следовательно, $\triangle A_1AC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle A_1AC$. В этом треугольнике:

$\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC}$

$\tan(\beta) = \frac{H}{AC}$

Отсюда высота призмы $H = AC \cdot \tan(\beta)$.

Теперь найдем длину катета $AC$ из основания призмы — прямоугольного треугольника $\triangle ABC$. Нам известны катет $BC=a$ и противолежащий ему угол $\angle BAC = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\cot(\angle BAC) = \frac{AC}{BC}$

$\cot(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда $AC = a \cdot \cot(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для $AC$ в формулу для высоты $H$:

$H = (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

20.77. Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и соседней боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$, а боковое ребро (высота) равно $h$. По условию $h = 8$ см.

Рассмотрим диагональ $A_1B$ боковой грани $ABB_1A_1$ и соседнюю с ней боковую грань $ACC_1A_1$. Угол между прямой (диагональю $A_1B$) и плоскостью (гранью $ACC_1A_1$) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для построения проекции опустим перпендикуляр из точки $B$ на плоскость грани $ACC_1A_1$. Так как призма правильная, её боковые грани перпендикулярны основаниям. Проведём в основании $ABC$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний, $BH$ является также и медианой. В правильной призме плоскость основания $(ABC)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$, поэтому перпендикуляр $BH$ к их линии пересечения $AC$ будет перпендикулярен всей плоскости $(ACC_1A_1)$.

Таким образом, $BH \perp (ACC_1A_1)$. Тогда отрезок $A_1H$ является проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость грани $ACC_1A_1$. Угол между диагональю $A_1B$ и её проекцией $A_1H$ — это $\angle BA_1H$. По условию $\angle BA_1H = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BA_1H$ (угол $\angle BHA_1 = 90^\circ$, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости). Длина высоты $BH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ вычисляется по формуле: $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BA_1H$ из соотношения сторон и углов имеем: $\sin(\angle BA_1H) = \frac{BH}{A_1B}$. $\sin(30^\circ) = \frac{BH}{A_1B} \implies \frac{1}{2} = \frac{BH}{A_1B}$. Отсюда $A_1B = 2 \cdot BH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$, так как боковая грань — прямоугольник). По теореме Пифагора: $A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2$. Подставим известные величины: $A_1B = a\sqrt{3}$, $AA_1 = h = 8$ см, $AB = a$. $(a\sqrt{3})^2 = 8^2 + a^2$ $3a^2 = 64 + a^2$ $2a^2 = 64$ $a^2 = 32$ $a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр основания: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12\sqrt{2} \cdot 8 = 96\sqrt{2}$ см².

Ответ: $96\sqrt{2}$ см².

20.78. Площадь поверхности куба равна $216$ $см^2$. Найдите площадь его диагонального сечения.

Площадь полной поверхности куба, состоящего из шести одинаковых квадратных граней, вычисляется по формуле $S_{пов} = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба.

По условию задачи, площадь поверхности равна 216 см². Используя эту информацию, мы можем найти длину ребра куба:

$6a^2 = 216$ см²
$a^2 = \frac{216}{6}$ см²
$a^2 = 36$ см²
$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Диагональное сечение куба является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна ребру куба $a$, а вторая сторона – диагонали грани куба $d$.

Диагональ грани (квадрата) со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим найденное значение $a = 6$ см:

$d = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь диагонального сечения ($S_{сеч}$) равна произведению его сторон $a$ и $d$:

$S_{сеч} = a \cdot d = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см².

Ответ: $36\sqrt{2}$ см².

20.79. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$, точка $K$ — центр грани $ABB_1A_1$. Найдите угол между прямой $MK$ и плоскостью $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.Чтобы найти этот угол, построим прямоугольный треугольник, в котором $\alpha$ будет одним из острых углов. Катетами этого треугольника будут служить длина проекции отрезка $MK$ на плоскость $ABC$ и разность высот точек $M$ и $K$ относительно этой плоскости.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

1. Найдём разность высот точек $M$ и $K$ над плоскостью $ABC$.Точка $M$ — центр верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Её высота над плоскостью $ABC$ равна длине бокового ребра, то есть $a$.Точка $K$ — центр боковой грани $ABB_1A_1$. Её высота над плоскостью $ABC$ равна половине высоты бокового ребра, то есть $a/2$.Разность высот $\Delta h$ равна:$\Delta h = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$.Этот катет в нашем прямоугольном треугольнике равен $\frac{a}{2}$.

2. Найдём длину проекции отрезка $MK$ на плоскость $ABC$.Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $P$ — центр нижней грани $ABCD$.Проекцией точки $K$ на плоскость $ABC$ является точка $H$ — середина ребра $AB$.Следовательно, проекцией отрезка $MK$ на плоскость $ABC$ является отрезок $PH$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ в плоскости. Точка $P$ — его центр, а точка $H$ — середина стороны $AB$. Проведём через точку $P$ прямую, параллельную $AD$. Эта прямая пересечёт сторону $AB$ в её середине, то есть в точке $H$. Таким образом, отрезок $PH$ перпендикулярен стороне $AB$. Длина этого отрезка равна половине длины стороны $AD$.Длина проекции $d_{proj}$ равна:$d_{proj} = |PH| = \frac{1}{2} |AD| = \frac{a}{2}$.Этот катет в нашем прямоугольном треугольнике также равен $\frac{a}{2}$.

3. Найдём искомый угол $\alpha$.В прямоугольном треугольнике, который мы построили, тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (разности высот) к прилежащему катету (длине проекции).$\tan(\alpha) = \frac{\Delta h}{d_{proj}} = \frac{a/2}{a/2} = 1$.

Следовательно, угол $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

20.80. Точки $E, F$ и $M$ – середины рёбер $AD, CD$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $EFM$.

Для нахождения угла между плоскостями $ABC$ и $EFM$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DC$, ось $y$ вдоль ребра $DA$ и ось $z$ вдоль ребра $DD_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a=2$. Тогда координаты вершин куба, необходимых для решения задачи, будут следующими:

• $D(0; 0; 0)$
• $A(0; 2; 0)$
• $C(2; 0; 0)$
• $B(2; 2; 0)$
• $B_1(2; 2; 2)$

Найдем координаты точек $E$, $F$ и $M$, которые являются серединами рёбер $AD$, $CD$ и $BB_1$ соответственно:

• $E$ — середина $AD$: $E = \left(\frac{0+0}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (0; 1; 0)$
• $F$ — середина $CD$: $F = \left(\frac{2+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (1; 0; 0)$
• $M$ — середина $BB_1$: $M = \left(\frac{2+2}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = (2; 2; 1)$

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Уравнение этой плоскости $z=0$. Вектор нормали к плоскости $ABC$ — это любой вектор, коллинеарный оси $Oz$. Возьмем вектор $\vec{n_1} = \{0; 0; 1\}$.

Чтобы найти вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $EFM$, найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Например, векторы $\vec{EF}$ и $\vec{FM}$:

$\vec{EF} = \{1-0; 0-1; 0-0\} = \{1; -1; 0\}$

$\vec{FM} = \{2-1; 2-0; 1-0\} = \{1; 2; 1\}$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ перпендикулярен плоскости $EFM$, и его можно найти как векторное произведение векторов $\vec{EF}$ и $\vec{FM}$:

$\vec{n_2} = \vec{EF} \times \vec{FM} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n_2} = \{-1; -1; 3\}$.

Угол $\alpha$ между плоскостями равен углу между их векторами нормали. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 3$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{|3|}{1 \cdot \sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right)$

20.81. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 9 см и 8 см, а угол между ними равен $60^\circ$. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда (параллелограмма) равны $a = 9$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

1. Нахождение диагоналей основания.
Диагонали параллелограмма можно найти с помощью теоремы косинусов. Углы в основании равны $60^\circ$ и $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Меньшая диагональ основания, $d_1$, лежит напротив острого угла: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ) = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 81 + 64 - 72 = 73$.
Таким образом, $d_1 = \sqrt{73}$ см.
Большая диагональ основания, $d_2$, лежит напротив тупого угла: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 + 64 + 72 = 217$.
Таким образом, $d_2 = \sqrt{217}$ см.

2. Нахождение высоты параллелепипеда.
Пусть высота прямого параллелепипеда равна $H$. Квадраты диагоналей параллелепипеда, $D_1$ и $D_2$, равны сумме квадрата высоты и квадрата соответствующей диагонали основания: $D_1^2 = d_1^2 + H^2 = 73 + H^2$
$D_2^2 = d_2^2 + H^2 = 217 + H^2$
Поскольку $73 < 217$, то $D_1 < D_2$. Значит, меньшая диагональ параллелепипеда - это $D_1$.
По условию, большая диагональ основания ($d_2$) равна меньшей диагонали параллелепипеда ($D_1$): $d_2 = D_1 \implies d_2^2 = D_1^2$
$217 = 73 + H^2$
$H^2 = 217 - 73 = 144$
$H = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.
Периметр основания: $P_{осн} = 2(a+b) = 2(9+8) = 2 \cdot 17 = 34$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 34 \cdot 12 = 408$ см$^2$.

Ответ: $408$ см$^2$.

20.82. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Площадь такого ромба равна $S_{осн} = a^2 \sin\alpha$. Следовательно, площадь двух оснований составляет $2S_{осн} = 2a^2 \sin\alpha$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту параллелепипеда $H$. Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4aH$. Для нахождения $S_{бок}$ необходимо определить высоту $H$.

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является меньшая диагональ ромба, обозначим ее $d_1$. Высота параллелепипеда $H$, меньшая диагональ основания $d_1$ и меньшая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике тангенс угла $\beta$ равен отношению высоты $H$ к диагонали основания $d_1$: $\tan\beta = \frac{H}{d_1}$, откуда $H = d_1 \tan\beta$.

Найдем длину меньшей диагонали ромба $d_1$. Она лежит напротив острого угла $\alpha$. Из треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d_1$, по теореме косинусов имеем:$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$.Применив формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.Следовательно, $d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти высоту параллелепипеда:$H = d_1 \tan\beta = 2a\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta$.

Подставим найденную высоту в формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = 4aH = 4a \cdot (2a\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta) = 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan\beta$.

Наконец, найдем площадь полной поверхности, сложив площади оснований и боковой поверхности:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2\sin\alpha + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta$.Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$S_{полн} = 2a^2(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta = 4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) + 8a^2\sin(\frac{\alpha}{2})\tan\beta$.Вынесем общий множитель $4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:$S_{полн} = 4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2\tan\beta)$.

Ответ: $4a^2\sin(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2\tan\beta)$.