Страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.21. Известно, что $\alpha \parallel \beta$, $a \parallel b$. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, плоскость $\beta$ — в точке $B$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $C$ (рис. 20.5). Постройте точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

Рис. 20.5

Поскольку по условию прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они определяют единственную плоскость, назовем ее $\gamma$.

Эта плоскость $\gamma$ пересекает две данные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($ \alpha \parallel \beta $). По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны.

Найдем эти линии пересечения.

• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой, проходящей через точки $B$ и $C$. Это так, потому что точки $B$ и $C$ по условию лежат в плоскости $\beta$, и в то же время они лежат в плоскости $\gamma$ (так как $B$ лежит на прямой $a$, а $C$ — на прямой $b$, и обе прямые лежат в плоскости $\gamma$). Следовательно, прямая $BC$ — это линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.
• Пусть искомая точка пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$ называется $D$. Тогда плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $A$ и $D$. Это так, потому что точка $A$ по условию лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ (по определению) также лежит в плоскости $\alpha$. В то же время обе точки, $A$ и $D$, лежат в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $AD$ — это линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$.

Так как линии пересечения $AD$ и $BC$ должны быть параллельны, получаем, что $AD \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, который полностью лежит в плоскости $\gamma$. Мы знаем, что его стороны $AB$ и $CD$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $a$ и $b$ ($AB \parallel CD$). Мы также только что доказали, что две другие его стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Это свойство и лежит в основе построения искомой точки $D$.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $B$ и $C$, получив прямую $BC$.
2. Через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой $BC$.
3. Точка пересечения построенной параллельной прямой и прямой $b$ и будет искомой точкой $D$.

Ответ: Для построения точки пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$ необходимо через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой $BC$. Точка пересечения этой построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой.

20.22. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ и пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, плоскость $\beta$ — в точке $N$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$ (рис. 20.6). Постройте точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$.

Рис. 20.5

Рис. 20.6

Обозначим искомую точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$ как $L$. Построение будет основываться на свойстве параллельных плоскостей: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $b$ по условию пересекаются, они задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$.

Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$ (по условию $M = a \cap \alpha$ и $K = b \cap \alpha$). Так как точки $M$ и $K$ также лежат на прямых $a$ и $b$, они принадлежат и плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $MK$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$.

Аналогично, точка $N$ лежит в плоскости $\beta$ (по условию $N = a \cap \beta$). Искомая точка $L$ по определению также должна лежать в плоскости $\beta$ (а также на прямой $b$). Обе точки, $N$ и $L$, принадлежат плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $NL$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $), а плоскость $\gamma$ их пересекает, то линии их пересечения также параллельны. Отсюда следует, что прямая $MK$ параллельна прямой $NL$ ($MK \parallel NL$).

Следовательно, для построения точки $L$ нужно выполнить следующие действия:
1. Провести прямую через точки $M$ и $K$.
2. В плоскости $\gamma$ (плоскости, определяемой прямыми $a$ и $b$) через точку $N$ провести прямую, параллельную прямой $MK$.
3. Точка пересечения этой построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой $L$.

Ответ: Необходимо соединить точки $M$ и $K$ прямой. Затем через точку $N$ провести прямую, параллельную прямой $MK$. Точка пересечения построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$.

20.23. На ребре $AC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $D$ (рис. 20.7). Постройте сечение призмы плоскостью $BDB_1$.

Рис. 20.7

Рис. 20.8

Рис. 20.9

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $BDB_1$ необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

Сначала соединим точки, лежащие в одной грани. Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Так как они принадлежат секущей плоскости, то отрезок $BD$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$.

Точки $B$ и $B_1$ определяют боковое ребро $BB_1$, которое также принадлежит секущей плоскости. Этот отрезок будет одной из сторон искомого сечения.

Далее воспользуемся свойством параллельности оснований призмы. Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(BDB_1)$ пересекает эти две параллельные плоскости, а значит, линии их пересечения также параллельны. Линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $BD$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это прямая, проходящая через точку $B_1$ (которая лежит и в секущей плоскости, и в плоскости верхнего основания) и параллельная прямой $BD$.

Проведём в плоскости верхнего основания через точку $B_1$ прямую, параллельную $BD$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1C_1$ в точке, которую обозначим $D_1$. Отрезок $B_1D_1$ является линией пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1$.

Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $B, D, B_1$ и $D_1$. Соединим точки $D$ и $D_1$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$, поэтому отрезок $DD_1$ является последней стороной сечения, лежащей на этой грани.

В результате получаем искомое сечение — четырёхугольник $BDD_1B_1$.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $BDD_1B_1$, где $D_1$ — точка на ребре $A_1C_1$ такая, что $B_1D_1 \parallel BD$.

20.24. Медианы грани $ADB$ тетраэдра $DABC$ пересекаются в точке $E$, а медианы грани $BDC$ — в точке $F$. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$.
Точка $E$ является точкой пересечения медиан грани $ADB$. Это означает, что $E$ — центроид треугольника $ADB$. Одна из медиан этого треугольника — отрезок $DM$. Точка $E$ лежит на этом отрезке.
Аналогично, точка $F$ является точкой пересечения медиан грани $BDC$. Это означает, что $F$ — центроид треугольника $BDC$. Одна из медиан этого треугольника — отрезок $DN$. Точка $F$ лежит на этом отрезке.

По свойству точки пересечения медиан треугольника, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.Следовательно, для медианы $DM$ треугольника $ADB$ выполняется соотношение:$DE : EM = 2:1$, из чего следует, что $\frac{DE}{DM} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Для медианы $DN$ треугольника $BDC$ выполняется соотношение:$DF : FN = 2:1$, из чего следует, что $\frac{DF}{DN} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим треугольник $DMN$. Точки $E$ и $F$ лежат на его сторонах $DM$ и $DN$ соответственно. Так как $\frac{DE}{DM} = \frac{DF}{DN} = \frac{2}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая $EF$ параллельна прямой $MN$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $MN \parallel AC$.

Таким образом, мы установили, что $EF \parallel MN$ и $MN \parallel AC$. Из этого по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $EF \parallel AC$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $EF$ параллельна прямой $AC$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая EF параллельна плоскости ABC.