Номер 21, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 21, страница 187.

Условие.

20.21. Известно, что $\alpha \parallel \beta$, $a \parallel b$. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, плоскость $\beta$ — в точке $B$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $C$ (рис. 20.5). Постройте точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

Рис. 20.5

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку по условию прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они определяют единственную плоскость, назовем ее $\gamma$.

Эта плоскость $\gamma$ пересекает две данные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($ \alpha \parallel \beta $). По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны.

Найдем эти линии пересечения.

• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой, проходящей через точки $B$ и $C$. Это так, потому что точки $B$ и $C$ по условию лежат в плоскости $\beta$, и в то же время они лежат в плоскости $\gamma$ (так как $B$ лежит на прямой $a$, а $C$ — на прямой $b$, и обе прямые лежат в плоскости $\gamma$). Следовательно, прямая $BC$ — это линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.
• Пусть искомая точка пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$ называется $D$. Тогда плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $A$ и $D$. Это так, потому что точка $A$ по условию лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ (по определению) также лежит в плоскости $\alpha$. В то же время обе точки, $A$ и $D$, лежат в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $AD$ — это линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$.

Так как линии пересечения $AD$ и $BC$ должны быть параллельны, получаем, что $AD \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, который полностью лежит в плоскости $\gamma$. Мы знаем, что его стороны $AB$ и $CD$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $a$ и $b$ ($AB \parallel CD$). Мы также только что доказали, что две другие его стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Это свойство и лежит в основе построения искомой точки $D$.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $B$ и $C$, получив прямую $BC$.
2. Через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой $BC$.
3. Точка пересечения построенной параллельной прямой и прямой $b$ и будет искомой точкой $D$.

Ответ: Для построения точки пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$ необходимо через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой $BC$. Точка пересечения этой построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой.