Номер 16, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 16, страница 186.

Условие.

20.16. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести прямую, параллельную этой плоскости. Сколько таких прямых можно провести?

Решение 1.

Решение 3.

Доказательство

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, не принадлежащая этой плоскости, то есть $M \notin \alpha$. Необходимо доказать, что через точку $M$ можно провести прямую, параллельную плоскости $\alpha$.

1. Выберем в плоскости $\alpha$ любую прямую $a$.

2. Так как точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, она не лежит и на прямой $a$. Через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

3. В плоскости $\beta$ лежат прямая $a$ и точка $M$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем в плоскости $\beta$ через точку $M$ прямую $b$, параллельную прямой $a$. Таким образом, мы имеем: $M \in b$ и $b \parallel a$.

4. Теперь докажем, что построенная прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Проверим условия для нашего случая:

• Прямая $b$ проходит через точку $M$, которая не принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.
• Прямая $b$ по построению параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
• Прямая $a$ по построению лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Все условия признака выполнены, значит, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы построили прямую $b$, проходящую через данную точку $M$ и параллельную данной плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести прямую, параллельную этой плоскости.

Сколько таких прямых можно провести?

При доказательстве существования мы выбрали в плоскости $\alpha$ произвольную прямую $a$. В плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество различных прямых.

Для каждой из этих прямых (например, $a_1, a_2, a_3, \dots$) в плоскости $\alpha$ можно повторить описанную выше процедуру построения. Мы получим прямые $b_1, b_2, b_3, \dots$, которые все проходят через точку $M$ и параллельны соответствующим прямым $a_1, a_2, a_3, \dots$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, все эти прямые ($b_1, b_2, b_3, \dots$) будут параллельны плоскости $\alpha$.

Поскольку в плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых с разными направлениями, то и через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых, им параллельных. Все эти прямые будут лежать в одной плоскости $\gamma$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $\alpha$.

Ответ: Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести бесконечно много прямых, параллельных этой плоскости.