Номер 9, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 9, страница 186.

Условие.

20.9. На рёбрах $DA$ и $DB$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $ABC$ и $MKC$.

Решение 1.

Решение 3.

20.9. Для построения линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Точка $C$ по определению принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $C$ является одной из трёх точек, задающих плоскость $(MKC)$. Следовательно, точка $C$ является общей для обеих плоскостей и лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим прямую $MK$. Поскольку точка $M$ лежит на ребре $DA$ и точка $K$ лежит на ребре $DB$, то вся прямая $MK$ лежит в плоскости грани $(DAB)$.
Прямая $AB$ также лежит в плоскости грани $(DAB)$.
Так как обе прямые, $MK$ и $AB$, лежат в одной плоскости $(DAB)$, они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае они пересекаются. Найдём точку их пересечения, продлив отрезки $MK$ и $AB$ до их встречи. Обозначим эту точку $P$.
Теперь докажем, что точка $P$ принадлежит обеим исходным плоскостям:
- Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$ ($P \in AB$), а прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $MK$ ($P \in MK$), а прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $(MKC)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MKC)$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$: это точки $C$ и $P$. Через две различные точки проходит единственная прямая. Следовательно, прямая $CP$ является искомой линией пересечения.

Алгоритм построения:
1. В плоскости грани $DAB$ строим прямые $MK$ и $AB$.
2. Находим точку их пересечения $P = MK \cap AB$.
3. Проводим прямую через точки $C$ и $P$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $MKC$ является прямая $CP$, где $P$ — точка пересечения прямых $MK$ и $AB$.