Номер 13, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 13, страница 186.

Условие.

20.13. Каждая из прямых $c$ и $d$ пересекает каждую из параллельных прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $c$ и $d$ не являются скрещивающимися.

Решение 1.

Решение 3.

Доказательство проведем методом от противного или прямым доказательством, основанным на аксиомах стереометрии. Выберем прямое доказательство.

1. По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$. Таким образом, обе прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. Рассмотрим прямую $c$. По условию, она пересекает прямую $a$ и прямую $b$. Пусть точка пересечения $c$ и $a$ будет $A$ ($A = c \cap a$), а точка пересечения $c$ и $b$ будет $B$ ($B = c \cap b$).

3. Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$, принадлежащая прямой $a$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Аналогично, поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

4. Теперь у нас есть две различные точки $A$ и $B$ (точки не могут совпадать, иначе прямые $a$ и $b$ пересекались бы, что противоречит условию их параллельности), которые принадлежат одновременно и прямой $c$, и плоскости $\alpha$. Согласно еще одной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

5. Проведем точно такие же рассуждения для прямой $d$. Она пересекает прямую $a$ в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. Точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, а значит, и вся прямая $d$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).

6. В итоге мы установили, что обе прямые, $c$ и $d$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

7. По определению, скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости. Так как прямые $c$ и $d$ лежат в одной плоскости, они не являются скрещивающимися. Они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Прямые $c$ и $d$ не являются скрещивающимися, так как они обе лежат в плоскости, заданной параллельными прямыми $a$ и $b$.