Номер 20, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 20, страница 186.

Условие.

20.20. На рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $M$ так, что $\angle ABE = \angle FEB$, $\angle CBM = \angle FMB$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $EFM$ параллельны.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства параллельности плоскостей $(ABC)$ и $(EFM)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим прямые $AB$ и $EF$. Точки $A, B, E, F$ лежат в одной плоскости грани $DAB$. Прямая $BE$ является секущей для прямых $AB$ и $EF$. Углы $\angle ABE$ и $\angle FEB$ являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи дано, что $\angle ABE = \angle FEB$. Согласно признаку параллельности прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны), заключаем, что $AB \parallel EF$.

2. Аналогично рассмотрим прямые $BC$ и $FM$. Точки $B, C, F, M$ лежат в одной плоскости грани $DBC$. Прямая $BM$ является секущей для прямых $BC$ и $FM$. Углы $\angle CBM$ и $\angle FMB$ также являются внутренними накрест лежащими. По условию, $\angle CBM = \angle FMB$. Следовательно, по тому же признаку параллельности прямых, $BC \parallel FM$.

3. Мы установили, что две пересекающиеся в точке $B$ прямые $AB$ и $BC$ плоскости $(ABC)$ соответственно параллельны двум пересекающимся в точке $F$ прямым $EF$ и $FM$ плоскости $(EFM)$. Таким образом, выполнены условия признака параллельности плоскостей. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $(EFM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $ABC$ и $EFM$ параллельны.