Номер 22, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 22, страница 187.

Условие.

20.22. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ и пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, плоскость $\beta$ — в точке $N$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$ (рис. 20.6). Постройте точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$.

Рис. 20.5

Рис. 20.6

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим искомую точку пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$ как $L$. Построение будет основываться на свойстве параллельных плоскостей: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $b$ по условию пересекаются, они задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$.

Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$ (по условию $M = a \cap \alpha$ и $K = b \cap \alpha$). Так как точки $M$ и $K$ также лежат на прямых $a$ и $b$, они принадлежат и плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $MK$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$.

Аналогично, точка $N$ лежит в плоскости $\beta$ (по условию $N = a \cap \beta$). Искомая точка $L$ по определению также должна лежать в плоскости $\beta$ (а также на прямой $b$). Обе точки, $N$ и $L$, принадлежат плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $NL$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $), а плоскость $\gamma$ их пересекает, то линии их пересечения также параллельны. Отсюда следует, что прямая $MK$ параллельна прямой $NL$ ($MK \parallel NL$).

Следовательно, для построения точки $L$ нужно выполнить следующие действия:
1. Провести прямую через точки $M$ и $K$.
2. В плоскости $\gamma$ (плоскости, определяемой прямыми $a$ и $b$) через точку $N$ провести прямую, параллельную прямой $MK$.
3. Точка пересечения этой построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой $L$.

Ответ: Необходимо соединить точки $M$ и $K$ прямой. Затем через точку $N$ провести прямую, параллельную прямой $MK$. Точка пересечения построенной прямой с прямой $b$ и будет искомой точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\beta$.