Номер 25, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 25, страница 188.

Условие.

20.25. На рёбрах $AB$, $CC_1$ и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $M$ (рис. 20.8). Постройте сечение куба плоскостью $EFM$.

Рис. 20.8

Решение 1.

Решение 3.

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки $E, F, M$, будем последовательно находить точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, а затем соединять их отрезками, если они лежат в одной грани. Основной метод, который мы будем использовать, — это метод следов.

1. Построение стороны сечения в грани $BCC_1B_1$

Точки $M$ и $F$ по условию лежат на ребрах $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно. Обе эти точки принадлежат плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $MF$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Соединяем точки $M$ и $F$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $ABC$

Чтобы найти другие точки сечения, построим след (линию пересечения) секущей плоскости $EFM$ с плоскостью нижнего основания $ABC$. Для этого найдем еще одну общую точку этих двух плоскостей, кроме уже известной точки $E$. Продлим прямую $MF$ в плоскости $BCC_1B_1$ до пересечения с продолжением ребра $BC$. Обозначим точку их пересечения $P$. Так как точка $P$ лежит на прямой $MF$, она принадлежит секущей плоскости $EFM$. Так как точка $P$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости основания $ABC$. Таким образом, прямая $EP$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Нахождение новой вершины сечения $G$

Проведем прямую $EP$. Эта прямая лежит в плоскости основания $ABC$. Она пересекает ребро $CD$ в некоторой точке $G$. Точка $G$ является новой вершиной сечения. Отрезок $EG$ — сторона сечения, лежащая в плоскости нижнего основания.

4. Построение еще одной вершины сечения $H$, используя свойство параллельности граней

Противоположные грани куба параллельны. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости нижнего основания $ABCD$. Мы уже нашли линию их пересечения с секущей плоскостью: это прямая $EG$ для нижнего основания. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием будет проходить через точку $M$ параллельно прямой $EG$. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $M$ прямую, параллельную $EG$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $H$. Отрезок $MH$ — еще одна сторона сечения.

5. Завершение построения сечения

Мы нашли все вершины сечения: $E$ на $AB$, $G$ на $CD$, $F$ на $CC_1$, $M$ на $B_1C_1$ и $H$ на $A_1B_1$. Теперь последовательно соединим вершины, лежащие в одних гранях:

• $EG$ в грани $ABCD$ (построено).
• $GF$ в грани $DCC_1D_1$ (точки $G$ и $F$ лежат в этой плоскости).
• $FM$ в грани $BCC_1B_1$ (построено).
• $MH$ в грани $A_1B_1C_1D_1$ (построено).
• $HE$ в грани $ABB_1A_1$ (точки $H$ и $E$ лежат в этой плоскости).

В результате получаем замкнутый многоугольник — пятиугольник $EGFMH$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение куба плоскостью EFM — это пятиугольник $EGFMH$.