Номер 26, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 26, страница 188.

Условие.

20.26. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $E$ (рис. 20.9). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $BCD$.

Рис. 20.9

Решение 1.

Решение 3.

Пусть искомая секущая плоскость называется $\alpha$. По условию, она проходит через точку $E$ на ребре $AB$ и параллельна плоскости $(BCD)$.

Для построения сечения найдем линии его пересечения с гранями тетраэдра. Будем использовать следующее свойство: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

1. Плоскость грани $ABC$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(BCD)$. Линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(BCD)$ — это прямая $BC$. Следовательно, линия пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости $\alpha$ должна быть параллельна прямой $BC$. Так как точка $E$ принадлежит и плоскости $(ABC)$, и плоскости $\alpha$, то эта линия пересечения проходит через точку $E$.
   Строим в плоскости $(ABC)$ прямую через точку $E$ параллельно $BC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AC$ назовем $F$. Отрезок $EF$ является стороной искомого сечения, при этом $EF \parallel BC$.
2. Аналогично, плоскость грани $ABD$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(BCD)$. Линии их пересечения — прямые, параллельные друг другу. Линия пересечения $(ABD)$ и $(BCD)$ — это прямая $BD$. Значит, линия пересечения $(ABD)$ и $\alpha$ должна быть параллельна $BD$ и проходить через точку $E$.
   Строим в плоскости $(ABD)$ прямую через точку $E$ параллельно $BD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AD$ назовем $G$. Отрезок $EG$ является второй стороной искомого сечения, при этом $EG \parallel BD$.
3. Точки $F$ и $G$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$, а также лежат в плоскости грани $ADC$. Следовательно, отрезок $FG$, соединяющий эти точки, является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ADC$. Этот отрезок — третья сторона сечения.

В результате построений мы получили треугольник $EFG$. Он и является искомым сечением.

Убедимся, что построенная плоскость $(EFG)$ параллельна плоскости $(BCD)$. По построению, $EF \parallel BC$ и $EG \parallel BD$. Прямые $EF$ и $EG$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $BD$ пересекаются в точке $B$. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, $(EFG) \parallel (BCD)$. Построение верно.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $EFG$, где точка $F$ лежит на ребре $AC$ и $EF \parallel BC$, а точка $G$ лежит на ребре $AD$ и $EG \parallel BD$.