Номер 31, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 31, страница 188.

Условие.

20.31. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$, отрезок $A_1B_1$ – изображение гипотенузы $AB$. Постройте изображение квадрата, вписанного в треугольник $ABC$ и имеющего с ним общий угол, если:

1) $AC = BC$;

2) $AC : BC = 2 : 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $\triangle ABC$ — исходный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CDEF$ — вписанный в него квадрат, имеющий с ним общий угол $C$. Это означает, что вершины квадрата $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Пусть сторона квадрата равна $x$, то есть $CD = CF = DE = EF = x$. Поскольку сторона квадрата $DE$ параллельна катету $BC$ (так как обе перпендикулярны $AC$), то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Поскольку $AD = AC - CD = AC - x$ и $DE = x$, получаем:

$\frac{AC - x}{AC} = \frac{x}{BC}$

Преобразуем это выражение:

$1 - \frac{x}{AC} = \frac{x}{BC}$

$(AC - x) \cdot BC = x \cdot AC$

$AC \cdot BC - x \cdot BC = x \cdot AC$

$AC \cdot BC = x(AC + BC)$

Отсюда можно найти сторону квадрата $x = \frac{AC \cdot BC}{AC + BC}$.

Нас интересует положение точек $D$ и $F$. Из соотношения $\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$ и того, что $DE = CD = x$, следует $\frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}$. Отсюда получаем ключевое для построения соотношение:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$

Аналогично, из подобия $\triangle FBE \sim \triangle ABC$ можно получить соотношение $\frac{BF}{CF} = \frac{BC}{AC}$.

Поскольку параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, то для изображения $\triangle A_1B_1C_1$ будут верны аналогичные соотношения:

$A_1D_1 : D_1C_1 = AC : BC$

$B_1F_1 : F_1C_1 = BC : AC$

Изображением квадрата $CDEF$ будет параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$. Построение сводится к нахождению точек $D_1$ и $F_1$ на сторонах $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно, а затем — к построению параллелограмма.

1) $AC = BC$

В этом случае треугольник $ABC$ — равнобедренный. Отношение катетов $AC : BC = 1 : 1$.

Следовательно, для точек на изображении имеем:

$A_1D_1 : D_1C_1 = 1 : 1$, то есть $D_1$ — середина отрезка $A_1C_1$.

$B_1F_1 : F_1C_1 = 1 : 1$, то есть $F_1$ — середина отрезка $B_1C_1$.

Построение:

1. Найти середину $D_1$ отрезка $A_1C_1$.
2. Найти середину $F_1$ отрезка $B_1C_1$.
3. Через точку $D_1$ провести прямую, параллельную $B_1C_1$.
4. Через точку $F_1$ провести прямую, параллельную $A_1C_1$.
5. Точка пересечения этих прямых есть вершина $E_1$.

Полученный параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением квадрата.

Ответ: Искомое изображение — это параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$, где $D_1$ — середина $A_1C_1$, $F_1$ — середина $B_1C_1$, а $E_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $D_1$ и $F_1$ параллельно сторонам $B_1C_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

2) $AC : BC = 2 : 3$

В этом случае, согласно общему выводу, для точек на изображении имеем:

$A_1D_1 : D_1C_1 = AC : BC = 2 : 3$.

$B_1F_1 : F_1C_1 = BC : AC = 3 : 2$.

Построение:

1. Разделить отрезок $A_1C_1$ точкой $D_1$ в отношении $A_1D_1 : D_1C_1 = 2 : 3$. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса: из точки $C_1$ провести произвольный луч, не лежащий на прямой $A_1C_1$, отложить на нем 5 равных отрезков. Конец пятого отрезка соединить с точкой $A_1$. Через конец третьего отрезка (считая от $C_1$) провести прямую, параллельную прямой, соединяющей пятый отрезок и $A_1$. Точка пересечения этой прямой с $A_1C_1$ и будет искомой точкой $D_1$.
2. Аналогично разделить отрезок $B_1C_1$ точкой $F_1$ в отношении $B_1F_1 : F_1C_1 = 3 : 2$.
3. Через точку $D_1$ провести прямую, параллельную $B_1C_1$.
4. Через точку $F_1$ провести прямую, параллельную $A_1C_1$.
5. Точка пересечения этих прямых есть вершина $E_1$.

Полученный параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением квадрата.

Ответ: Искомое изображение — это параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$, где точка $D_1$ делит отрезок $A_1C_1$ в отношении $A_1D_1 : D_1C_1 = 2:3$, точка $F_1$ делит отрезок $B_1C_1$ в отношении $B_1F_1 : F_1C_1 = 3:2$, а $E_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $D_1$ и $F_1$ параллельно сторонам $B_1C_1$ и $A_1C_1$ соответственно.