Номер 34, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 34, страница 189.

Условие.

20.34. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $BD$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 20.12). Точка $M$ – середина отрезка $AC$. Найдите отрезки $DA$ и $DM$, если $AB = BC = 10$ см, $AC = 12$ см, $DB = 24$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Это означает, что отрезок BD перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости ABC и проходящей через точку B. Нам даны следующие данные: треугольник ABC, в котором AB = BC = 10 см и AC = 12 см; точка M — середина стороны AC; длина отрезка DB = 24 см. Требуется найти длины отрезков DA и DM.

Нахождение DA

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости (ABC), она перпендикулярна и прямой AB, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку B. Таким образом, угол между отрезками DB и AB прямой, то есть $ \angle DBA = 90^\circ $.

Это означает, что треугольник DBA является прямоугольным, где DB и AB — катеты, а DA — гипотенуза. Для нахождения длины гипотенузы DA применим теорему Пифагора:

$ DA^2 = DB^2 + AB^2 $

Подставим известные значения длин отрезков DB и AB:

$ DA^2 = 24^2 + 10^2 $

$ DA^2 = 576 + 100 = 676 $

Теперь найдем длину DA, извлекая квадратный корень:

$ DA = \sqrt{676} = 26 $ см.

Ответ: $ DA = 26 $ см.

Нахождение DM

Для нахождения длины отрезка DM рассмотрим треугольник DBM. Прямая BM лежит в плоскости (ABC) и проходит через точку B. Так как BD перпендикулярна плоскости (ABC), то BD перпендикулярна и прямой BM. Следовательно, треугольник DBM является прямоугольным с прямым углом при вершине B ($ \angle DBM = 90^\circ $).

По теореме Пифагора для треугольника DBM, мы имеем:

$ DM^2 = DB^2 + BM^2 $

Длина катета DB нам известна (24 см), но длина катета BM — нет. Найдем ее, рассмотрев треугольник ABC.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны (AB = BC = 10 см), значит, он является равнобедренным с основанием AC. По условию, точка M — середина основания AC, следовательно, отрезок BM является медианой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Таким образом, BM является высотой, то есть $ BM \perp AC $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMA (с прямым углом M). Длина гипотенузы AB равна 10 см. Длина катета AM равна половине длины основания AC:

$ AM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника BMA, чтобы найти длину катета BM:

$ AB^2 = BM^2 + AM^2 $

$ 10^2 = BM^2 + 6^2 $

$ 100 = BM^2 + 36 $

$ BM^2 = 100 - 36 = 64 $

$ BM = \sqrt{64} = 8 $ см.

Теперь, когда мы нашли длину BM, мы можем вернуться к прямоугольному треугольнику DBM и найти длину его гипотенузы DM:

$ DM^2 = DB^2 + BM^2 = 24^2 + 8^2 $

$ DM^2 = 576 + 64 = 640 $

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти DM:

$ DM = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10} $ см.

Ответ: $ DM = 8\sqrt{10} $ см.