Номер 36, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 36, страница 189.

Условие.

20.36. Точка $M$, расположенная вне плоскости ромба $ABCD$, такова, что

$\angle ABM = \angle CBM = 90^\circ$. Найдите отрезок $MD$, если $AD=a$, $\angle ABC=\alpha$,

$\angle MDB=\beta$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $ABCD$ — ромб, то все его стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию, $\angle ABM = 90^\circ$ и $\angle CBM = 90^\circ$. Это означает, что прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $CB$, лежащим в плоскости ромба. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MB$ перпендикулярна всей плоскости ромба $(ABC)$.

$MB \perp AB$ и $MB \perp CB \implies MB \perp (ABC)$.

Диагональ $BD$ ромба лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, прямая $MB$ перпендикулярна прямой $BD$, то есть $\angle MBD = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle MBD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике нам известен острый угол $\angle MDB = \beta$ и требуется найти гипотенузу $MD$. Катет, прилежащий к углу $\beta$, — это $BD$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $\triangle MBD$: $\cos(\angle MDB) = \frac{BD}{MD}$ $\cos(\beta) = \frac{BD}{MD}$

Отсюда выражаем искомый отрезок $MD$: $MD = \frac{BD}{\cos(\beta)}$

Теперь найдем длину диагонали $BD$ ромба. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В нем известны две стороны $AB=a$, $AD=a$ и угол между ними $\angle BAD$. В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$ $BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $BD^2 = 2a^2 - 2a^2(-\cos(\alpha)) = 2a^2(1 + \cos(\alpha))$

Применим тригонометрическую формулу понижения степени: $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$. $BD^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлекая квадратный корень, получаем длину диагонали $BD$: $BD = \sqrt{4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$ (Так как $\alpha$ — угол в ромбе, $0 < \alpha < 180^\circ$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$, и, следовательно, $\cos(\frac{\alpha}{2}) > 0$).

Наконец, подставим найденное выражение для $BD$ в формулу для $MD$: $MD = \frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

Ответ: $MD = \frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$