Номер 14, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 14, страница 186.

Условие.

20.14. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры одной окружности. Плоскость $\alpha$ не имеет общих точек с данной окружностью. Через точки $A$, $B$, $C$ и $D$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 5$ см, $BB_1 = 9$ см, $DD_1 = 3$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть O — центр окружности. Поскольку отрезки AB и CD являются диаметрами этой окружности, точка O является серединой каждого из этих отрезков.

Через точки A, B, C, D и O проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках A₁, B₁, C₁, D₁ и O₁ соответственно. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ и OO₁ параллельны друг другу.

Свойство пространственной фигуры, образованной отрезком и его проекцией на плоскость с помощью параллельных прямых, заключается в том, что длина отрезка, соединяющего середину исходного отрезка с плоскостью, равна среднему арифметическому длин отрезков, проведенных из его концов.

Применим это свойство к диаметру AB, серединой которого является точка O. Длина отрезка OO₁ будет равна полусумме длин отрезков AA₁ и BB₁:

$OO_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения:

$OO_1 = \frac{5 \text{ см} + 9 \text{ см}}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$

Теперь применим то же свойство к диаметру CD, серединой которого также является точка O. Длина отрезка OO₁ также равна полусумме длин отрезков CC₁ и DD₁:

$OO_1 = \frac{CC_1 + DD_1}{2}$

Мы уже нашли, что $OO_1 = 7$ см, и по условию $DD_1 = 3$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем $CC_1$:

$7 = \frac{CC_1 + 3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$14 = CC_1 + 3$

Выразим $CC_1$:

$CC_1 = 14 - 3$

$CC_1 = 11 \text{ см}$

Ответ: 11 см.