Номер 11, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 11, страница 186.

Условие.

20.11. Прямая $MK$, не лежащая в плоскости параллелограмма $ABCD$, параллельна прямой $AD$. Каково взаимное расположение прямых:

1) $MK$ и $BC$; 2) $MK$ и $AB$?

Решение 1.

Решение 3.

1) $MK$ и $BC$

По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Запишем это как $AD \\parallel BC$.

Также по условию, прямая $MK$ параллельна прямой $AD$, то есть $MK \\parallel AD$.

Мы имеем два утверждения: $MK \\parallel AD$ и $AD \\parallel BC$. Согласно теореме о трех параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем сделать вывод, что $MK \\parallel BC$.

Ответ: прямые $MK$ и $BC$ параллельны.

2) $MK$ и $AB$

Рассмотрим взаимное расположение прямых $MK$ и $AB$ в пространстве. Две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

• Параллельность: По условию $MK \\parallel AD$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ являются смежными и пересекаются в точке $A$, следовательно, они не параллельны ($AB \not\\parallel AD$). Если бы мы предположили, что $MK \\parallel AB$, то из $MK \\parallel AD$ и $MK \\parallel AB$ следовало бы, что $AD \\parallel AB$, что неверно. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не могут быть параллельными.
• Пересечение: Если бы прямые $MK$ и $AB$ пересекались, они бы лежали в одной плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$. Следовательно, и прямая $MK$ должна была бы лежать в этой же плоскости. Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что прямая $MK$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не пересекаются.

Поскольку прямые $MK$ и $AB$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Это также можно доказать, используя признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. В нашем случае прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$. Прямая $MK$ не лежит в плоскости $(ABC)$ и параллельна прямой $AD$, которая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $MK$ параллельна плоскости $(ABC)$. А так как $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, а $MK$ параллельна этой плоскости, то $MK$ и $AB$ не пересекаются. Как мы уже показали, они и не параллельны. Следовательно, они скрещивающиеся.

Ответ: прямые $MK$ и $AB$ скрещивающиеся.