Номер 5, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 5, страница 185.

Условие.

20.5. Точка $M$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – грани $AA_1D_1D$ (рис. 20.3). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Рис. 20.1

Рис. 20.2

Рис. 20.3

Решение 1.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ используется метод вспомогательной плоскости. В качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость, проходящую через три точки, которые определяют прямую $MK$ и легко связываются с геометрией куба. Возьмем плоскость $\alpha$, проходящую через точки $A$, $M$ и $K$.

Искомая точка пересечения $P$ по определению должна удовлетворять двум условиям:
1. $P$ принадлежит прямой $MK$.
2. $P$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Так как прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $\alpha = (AMK)$, то искомая точка $P$ также должна лежать в этой плоскости. Из этого следует, что точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Таким образом, алгоритм построения сводится к нахождению этой линии пересечения, а затем — к нахождению точки пересечения полученной линии с исходной прямой $MK$.

Построение

1. Нахождение линии пересечения вспомогательной плоскости $(AMK)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

   Прямая определяется двумя точками. Найдем две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

   • По условию, точка $M$ принадлежит грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $AM$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$. В этой же плоскости лежит и прямая $A_1B_1$. Построим точку $P_1$ как пересечение прямых $AM$ и $A_1B_1$. Так как точка $P_1$ лежит на прямой $AM$, она принадлежит плоскости $(AMK)$. Так как $P_1$ лежит на прямой $A_1B_1$, она принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$. Значит, $P_1$ — одна из точек искомой линии пересечения.
   • Аналогично, точка $K$ принадлежит грани $AA_1D_1D$. Следовательно, прямая $AK$ лежит в плоскости $(AA_1D_1D)$. В этой же плоскости лежит прямая $A_1D_1$. Построим точку $P_2$ как пересечение прямых $AK$ и $A_1D_1$. Так как точка $P_2$ лежит на прямой $AK$, она принадлежит плоскости $(AMK)$. Так как $P_2$ лежит на прямой $A_1D_1$, она принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$. Значит, $P_2$ — вторая точка искомой линии пересечения.

   Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(AMK)$ и $(A_1B_1C_1)$.

2. Нахождение искомой точки $P$.

   Искомая точка $P$ является пересечением прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Как было показано, $P$ должна лежать на линии пересечения плоскости $(AMK)$ с $(A_1B_1C_1)$, то есть на прямой $P_1P_2$.

   Таким образом, точка $P$ находится как пересечение двух прямых: $MK$ и $P_1P_2$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(AMK)$, поэтому они пересекаются (за исключением случая параллельности, который означал бы, что прямая $MK$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$).

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $P_1P_2$, где $P_1 = AM \cap A_1B_1$ и $P_2 = AK \cap A_1D_1$.