Номер 16, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 16, страница 175.

Условие.

19.16. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6\sqrt{3}$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см и $\angle A = 45^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения неизвестных углов треугольника воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

По условию задачи даны: сторона $BC = a = 6\sqrt{2}$ см, сторона $AB = c = 6\sqrt{3}$ см и угол $ \angle A = 45^\circ $. Требуется найти углы $ \angle B $ и $ \angle C $.

Применим теорему синусов, чтобы найти угол $C$, который лежит напротив стороны $AB$:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin C} $

Выразим из этого уравнения $ \sin C $:

$ \sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{6\sqrt{2}} $

Зная, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим это значение в выражение:

$ \sin C = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Уравнение $ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} $ для угла треугольника (угол должен быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$) имеет два возможных решения:

1) $ \angle C = 60^\circ $

2) $ \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Поскольку в обоих случаях сумма углов $ \angle A + \angle C $ меньше $ 180^\circ $, задача имеет два возможных решения. Рассмотрим каждое из них.

Решение 1

Пусть $ \angle C = 60^\circ $. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $B$:

$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ $

Ответ: $ \angle C = 60^\circ, \angle B = 75^\circ $.

Решение 2

Пусть $ \angle C = 120^\circ $. Найдем угол $B$ для этого случая:

$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ $

Ответ: $ \angle C = 120^\circ, \angle B = 15^\circ $.