Номер 3, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 3, страница 185.

Условие.

20.3. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.1). Точка $D$ принадлежит прямой $AB$, точка $E$ – прямой $AC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1DE$.

Рис. 20.1

Решение 1.

Решение 3.

Для построения сечения призмы плоскостью $A_1DE$ воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

Секущая плоскость определена тремя точками: $A_1$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ по условию лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Прямые $AB$ и $AC$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $D$ и $E$, также лежит в плоскости основания $ABC$. Эта прямая $DE$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости $A_1DE$ с плоскостью основания призмы. Проведем прямую $DE$.

Ответ: Прямая $DE$ является следом секущей плоскости на плоскости $ABC$.

2. Нахождение точек пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами призмы

Теперь найдем точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра призмы. Для этого найдем линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями.

а) Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$. Точка $A_1$ принадлежит этой грани. Точка $D$ также принадлежит плоскости этой грани, так как лежит на прямой $AB$. Следовательно, прямая $A_1D$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $AA_1B_1B$. Проведем эту прямую. Прямая $A_1D$ пересекает боковое ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $M$. Точка $M$ является вершиной искомого сечения, а отрезок $A_1M$ — его стороной.

б) Аналогично рассмотрим боковую грань $AA_1C_1C$. Точка $A_1$ принадлежит этой грани. Точка $E$ также принадлежит плоскости этой грани, так как лежит на прямой $AC$. Следовательно, прямая $A_1E$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $AA_1C_1C$. Проведем эту прямую. Прямая $A_1E$ пересекает боковое ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $N$. Точка $N$ является еще одной вершиной искомого сечения, а отрезок $A_1N$ — его стороной.

Ответ: Найдены точки $M$ на ребре $BB_1$ и $N$ на ребре $CC_1$, являющиеся вершинами сечения.

3. Завершение построения сечения

Мы получили три вершины искомого сечения: $A_1$, $M$ и $N$. Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ соответственно, а значит, обе принадлежат плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $MN$ будет лежать на грани $BB_1C_1C$ и являться третьей стороной сечения.

В результате мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $A_1MN$. Его вершины ($A_1, M, N$) лежат на ребрах призмы, а его стороны ($A_1M$, $MN$, $NA_1$) лежат на гранях призмы ($AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $AA_1C_1C$ соответственно). Таким образом, треугольник $A_1MN$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ — это треугольник $A_1MN$.