Номер 15, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 15, страница 175.

Условие.

19.15. В круг вписан правильный треугольник со стороной 15 см. Найдите площадь сектора этого круга, соответствующего центральному углу правильного треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы найти площадь сектора круга, нам необходимо знать радиус этого круга и величину центрального угла, которому соответствует сектор.

1. Найдём центральный угол правильного треугольника.

Так как в круг вписан правильный треугольник, его вершины делят окружность на три равные дуги. Полный угол окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, центральный угол $\alpha$, соответствующий одной стороне треугольника, равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

2. Найдём радиус $R$ описанной окружности.

Существует формула, связывающая сторону правильного треугольника $a$ и радиус описанной около него окружности $R$:

$a = R\sqrt{3}$

Из этой формулы выразим радиус:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение стороны $a = 15$ см:

$R = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

3. Найдём площадь сектора.

Площадь сектора круга $S_{сектора}$ вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Подставим найденные значения $R = 5\sqrt{3}$ см и $\alpha = 120^\circ$ в формулу:

$S_{сектора} = \frac{\pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot (25 \cdot 3)}{3} = \frac{75\pi}{3} = 25\pi$ см².

Ответ: $25\pi$ см².