Номер 1, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 1, страница 185.

Условие.

20.1. Среди точек $A$, $B$, $C$ и $D$ есть три точки, лежащие на одной прямой.

Сколько плоскостей можно провести через данные точки?

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся аксиомой стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Также плоскость можно однозначно определить тремя точками, не лежащими на одной прямой.

По условию, среди четырех точек $A$, $B$, $C$ и $D$ три лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l$. Пусть, для определенности, на прямой $l$ лежат точки $A, B, C$. Для определения количества плоскостей необходимо рассмотреть два возможных случая, зависящих от положения четвертой точки $D$.

Случай 1: Точка $D$ лежит на прямой $l$.

В этом случае все четыре точки ($A, B, C$ и $D$) оказываются на одной прямой $l$. Через одну прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать все четыре точки. Это можно представить как страницы книги, вращающиеся вокруг корешка (прямой $l$).

Ответ: бесконечно много плоскостей.

Случай 2: Точка $D$ не лежит на прямой $l$.

В этом случае у нас есть прямая $l$, на которой лежат точки $A, B, C$, и точка $D$, которая не лежит на этой прямой. Согласно приведенной выше аксиоме, через прямую $l$ и точку $D$ можно провести плоскость, и притом только одну. Эта плоскость будет содержать все четыре точки.

Ответ: одна плоскость.

Поскольку условие задачи не уточняет, принадлежит ли четвертая точка прямой, на которой лежат три другие, задача имеет два возможных решения.