Номер 10, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 10, страница 186.

Условие.

20.10. Дан тетраэдр $DABC$ (рис. 20.4). Запишите все пары его скрещивающихся рёбер.

Решение 1.

Решение 3.

20.10. Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны. В тетраэдре $DABC$ рёбра являются скрещивающимися, если они не имеют общих вершин и не лежат в одной грани. У тетраэдра 6 рёбер: $DA, DB, DC, AB, BC, CA$.

Найдём все пары скрещивающихся рёбер, рассмотрев каждое ребро поочерёдно:

1. Ребро $DA$ имеет общие вершины с рёбрами $DB, DC, AB, AC$. Единственное ребро, с которым у $DA$ нет общих вершин, — это $BC$. Рёбра $DA$ и $BC$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

2. Ребро $DB$ имеет общие вершины с рёбрами $DA, DC, AB, BC$. Единственное ребро, с которым у $DB$ нет общих вершин, — это $AC$. Рёбра $DB$ и $AC$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

3. Ребро $DC$ имеет общие вершины с рёбрами $DA, DB, AC, BC$. Единственное ребро, с которым у $DC$ нет общих вершин, — это $AB$. Рёбра $DC$ и $AB$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

Все остальные пары рёбер либо пересекаются, либо лежат в одной грани. Таким образом, мы нашли все три пары скрещивающихся рёбер.

Ответ: $DA$ и $BC$; $DB$ и $AC$; $DC$ и $AB$.

20.11.

1) МК и ВС

По свойству параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. По условию задачи дано, что прямая $MK \parallel AD$. Из двух утверждений $MK \parallel AD$ и $AD \parallel BC$, по свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), следует, что $MK \parallel BC$.

2) МК и АВ

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Проверим каждую возможность для прямых $MK$ и $AB$.

1. Являются ли прямые параллельными? По условию $MK \parallel AD$. Стороны $AB$ и $AD$ параллелограмма являются смежными, они пересекаются в точке $A$ и не параллельны. Если предположить, что $MK \parallel AB$, то из $MK \parallel AD$ следовало бы, что $AB \parallel AD$, что неверно. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не параллельны.

2. Являются ли прямые пересекающимися? Предположим, что прямые $MK$ и $AB$ пересекаются в некоторой точке $P$. Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости параллелограмма $(ABC)$. Если $MK$ пересекает $AB$, то точка пересечения $P$ принадлежит прямой $AB$, а значит, и плоскости $(ABC)$. Но по условию прямая $MK$ не лежит в плоскости $(ABC)$. При этом известно, что $MK \parallel AD$, а $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Таким образом, $MK \parallel (ABC)$. Параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек. Мы пришли к противоречию: точка $P$ должна одновременно принадлежать и прямой $MK$, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $MK$ и $AB$ не пересекаются.

Поскольку прямые $MK$ и $AB$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: 1) $MK$ и $BC$ — параллельные прямые; 2) $MK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые.

20.12.

Для доказательства того, что прямые $a$ и $c$ являются скрещивающимися, необходимо показать, что они не пересекаются и не параллельны.

1. По условию задачи, "прямая $c$ не пересекает прямую $a$". Таким образом, первая часть определения скрещивающихся прямых выполнена.

2. Докажем, что прямые $a$ и $c$ не параллельны. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что прямые $a$ и $c$ параллельны, то есть $a \parallel c$. По условию задачи нам также дано, что $a \parallel b$. Из предположения $a \parallel c$ и условия $a \parallel b$ по теореме о трёх параллельных прямых следует, что прямая $c$ должна быть параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$). Однако это прямо противоречит другому условию задачи, согласно которому "прямая $c$ ... пересекает прямую $b$". Параллельные прямые не могут пересекаться. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $a \parallel c$, было неверным. Значит, прямые $a$ и $c$ не параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $c$ не пересекаются и не параллельны, по определению они являются скрещивающимися. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.