Страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.43. Угол между диагональю прямоугольника $ABCD$ и одной из его сторон равен $30^{\circ}$. Точка $M$ удалена от каждой вершины прямоугольника на $5\sqrt{3}$ см, а от его плоскости – на $5\sqrt{2}$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть данный прямоугольник – $ABCD$, а точка $O$ – точка пересечения его диагоналей.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин прямоугольника ($MA = MB = MC = MD = 5\sqrt{3}$ см), ее проекцией на плоскость прямоугольника является центр описанной около него окружности, то есть точка $O$. Расстояние от точки $M$ до плоскости прямоугольника – это длина перпендикуляра $MO$. По условию $MO = 5\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ (где $\angle MOA = 90^\circ$). Гипотенуза $MA = 5\sqrt{3}$ см, катет $MO = 5\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $OA$, который является половиной диагонали прямоугольника:$OA^2 = MA^2 - MO^2$$OA^2 = (5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 3 - 25 \cdot 2 = 75 - 50 = 25$ см²$OA = \sqrt{25} = 5$ см.

Длина всей диагонали $AC$ (обозначим ее $d$) равна удвоенной длине отрезка $OA$:$d = AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По условию, угол между диагональю и одной из сторон равен $30^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^\circ$). В нем известна гипотенуза $AC = 10$ см и острый угол $\angle CAD = 30^\circ$. Найдем катеты, которые являются сторонами прямоугольника $AD$ и $CD$, используя тригонометрические функции:$CD = AC \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.$AD = AC \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон:$S = AD \cdot CD = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$ см².

Ответ: $25\sqrt{3}$ см².

20.44. Докажите, что если отрезок не пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полусумме расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $AB$ — данный отрезок, который ее не пересекает. Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$. Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Опустим перпендикуляры из точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$. Обозначим их основания как $A_1$, $B_1$ и $M_1$ соответственно. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точек $A$, $B$ и $M$ до плоскости $\alpha$:
$d(A, \alpha) = AA_1$
$d(B, \alpha) = BB_1$
$d(M, \alpha) = MM_1$

Требуется доказать, что $d(M, \alpha) = \frac{d(A, \alpha) + d(B, \alpha)}{2}$.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $MM_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны между собой ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel MM_1$).

Рассмотрим фигуру, образованную точками $A, B, B_1, A_1$. Так как отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, эти четыре точки лежат в одной плоскости. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ является трапецией (или прямоугольником, если $AB \parallel \alpha$), у которой отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются параллельными основаниями, а $AB$ — боковой стороной.

Поскольку $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABB_1A_1$, а отрезок $MM_1$ параллелен ее основаниям ($MM_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1$), то $MM_1$ является средней линией этой трапеции.

По свойству средней линии трапеции, ее длина равна полусумме длин оснований:$MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$.

Подставив в это равенство выражения для расстояний, получаем:$d(M, \alpha) = \frac{d(A, \alpha) + d(B, \alpha)}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев перпендикуляры, опущенные из концов отрезка и его середины на плоскость, мы получаем трапецию $ABB_1A_1$, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а перпендикуляр из середины $M$ отрезка $AB$ является средней линией $MM_1$. По свойству средней линии трапеции $MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$, что и доказывает требуемое равенство.

20.45. Докажите, что если отрезок пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и отрезок $AB$, который пересекает эту плоскость. Обозначим концы отрезка как $A$ и $B$, а его середину как $M$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры из точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$. Пусть основаниями этих перпендикуляров являются точки $A_1$, $B_1$ и $M_1$ соответственно.

Тогда расстояния от концов отрезка и его середины до плоскости $\alpha$ равны:
$d_A = AA_1$
$d_B = BB_1$
$d_M = MM_1$

Нужно доказать, что $d_M = \frac{|d_A - d_B|}{2}$.

Доказательство:

Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $MM_1$ параллельны друг другу, так как все они перпендикулярны плоскости $\alpha$. Через две параллельные прямые ($AA_1$ и $BB_1$) можно провести единственную плоскость $\beta$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$, то и весь отрезок $AB$, включая его середину $M$, лежит в этой плоскости. Прямая $MM_1$, будучи параллельной $AA_1$, также лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, все точки $A, B, M, A_1, B_1, M_1$ лежат в одной плоскости $\beta$, которая перпендикулярна исходной плоскости $\alpha$.

В плоскости $\beta$ фигура $A A_1 B_1 B$ является трапецией, у которой основания $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, а боковыми сторонами являются отрезки $AB$ и $A_1B_1$.

Поскольку отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$, точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от этой плоскости. Это означает, что основания трапеции $AA_1$ и $BB_1$ направлены в противоположные стороны от прямой $A_1B_1$.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с продолжением отрезка $AA_1$ в точке $L$. Фигура $L A_1 B_1 B$ — прямоугольник, поэтому $LA_1 = BB_1$ и $LB$ параллельна $A_1B_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ALB$. Длина катета $AL$ равна сумме длин отрезков $AA_1$ и $A_1L$: $AL = AA_1 + A_1L = AA_1 + BB_1 = d_A + d_B$.

Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с $AL$ в точке $K$. Тогда $MK$ будет параллельна $LB$. Так как $M$ — середина гипотенузы $AB$, то по теореме Фалеса $MK$ является средней линией треугольника $\triangle ALB$.

Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна:
$MK = \frac{1}{2} AL = \frac{d_A + d_B}{2}$

Прямая $MM_1$ является частью прямой $MK$. Фигура $K M_1 B_1 B$ также является прямоугольником, поэтому $M_1K = B_1B = d_B$.

Теперь найдем искомое расстояние $d_M = MM_1$. Предположим, что $d_A \ge d_B$. Тогда точка $M_1$ лежит между точками $K$ и $A_1$. Расстояние $MM_1$ можно найти как разность длин отрезков $MK$ и $M_1K$:
$d_M = MM_1 = MK - M_1K = \frac{d_A + d_B}{2} - d_B = \frac{d_A + d_B - 2d_B}{2} = \frac{d_A - d_B}{2}$

Если предположить, что $d_B > d_A$, то рассуждения будут аналогичными, и мы получим $d_M = \frac{d_B - d_A}{2}$.

Объединяя оба случая, мы можем записать результат с использованием модуля:
$d_M = \frac{|d_A - d_B|}{2}$

Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от середины отрезка, пересекающего плоскость, до этой плоскости равно полуразности расстояний от его концов до той же плоскости.

20.46. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 6 \text{ см}$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $3\sqrt{6} \text{ см}$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию задачи, отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Следовательно, искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно длине отрезка $MC$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ – это длина перпендикуляра, проведенного из точки $M$ к прямой $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$ на прямой $AB$. Таким образом, $MH \perp AB$ и по условию $MH = 3\sqrt{6}$ см.

Рассмотрим отрезки $MC$, $MH$ и $CH$. $MC$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. $MH$ – наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AB$ в этой плоскости. $CH$ – проекция наклонной $MH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $CH \perp AB$. Это означает, что $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = BC = 6$ см). Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

$AB = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину высоты $CH$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине гипотенузы:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $MCH$. Так как $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а отрезок $CH$ лежит в этой плоскости, то $MC \perp CH$. Следовательно, треугольник $MCH$ является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике $MH$ – гипотенуза, а $MC$ и $CH$ – катеты.

Применим теорему Пифагора для треугольника $MCH$:

$MH^2 = MC^2 + CH^2$

Выразим искомый катет $MC$:

$MC^2 = MH^2 - CH^2$

Подставим известные значения $MH = 3\sqrt{6}$ см и $CH = 3\sqrt{2}$ см:

$MC^2 = (3\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 6) - (9 \cdot 2) = 54 - 18 = 36$

$MC = \sqrt{36} = 6$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 6 см.

Ответ: 6 см.

равно 5 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

20.47. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$, $AB = 5$ см, $BC = 16$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, если расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ равно $20$ см.

Поскольку отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $MB \perp BC$ и $MB \perp AB$.

1. Найдем длину отрезка MB.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По условию, расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ равно 20 см.

Рассмотрим треугольник $MBC$. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ — перпендикуляр к плоскости, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция на плоскость $(ABCD)$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp CD$.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($CD$), то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MC \perp CD$.

Таким образом, длина отрезка $MC$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, то есть $MC = 20$ см.

Треугольник $MBC$ является прямоугольным, так как $MB \perp BC$. По теореме Пифагора найдем катет $MB$:

$MC^2 = MB^2 + BC^2$

$MB^2 = MC^2 - BC^2$

$MB^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$MB = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем расстояние от точки M до прямой AD.

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра из точки $M$ к прямой $AD$.

Рассмотрим треугольник $MBA$. $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $MA$ — наклонная, а $AB$ — ее проекция на плоскость $(ABCD)$.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB \perp AD$.

Снова применим теорему о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MA \perp AD$.

Это означает, что длина отрезка $MA$ является расстоянием от точки $M$ до прямой $AD$.

Треугольник $MBA$ является прямоугольным, так как $MB \perp AB$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MA$:

$MA^2 = MB^2 + AB^2$

$MA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$MA = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

20.48. Отрезок $KC$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$, $AB = 15$ см, $AD = 20$ см, $KC = 5$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BD$.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. По условию, отрезок $KC$ перпендикулярен плоскости прямоугольника, то есть $KC \perp (ABCD)$. Нам даны длины сторон прямоугольника $AB = 15$ см, $AD = 20$ см и длина перпендикуляра $KC = 5$ см. Требуется найти расстояние от точки $K$ до прямой $BD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к прямой $BD$ (точка $H$ лежит на прямой $BD$). Длина отрезка $KH$ и есть искомое расстояние.

Отрезок $CH$ является проекцией наклонной $KH$ на плоскость $(ABCD)$. Так как $KH \perp BD$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция также перпендикулярна прямой $BD$, то есть $CH \perp BD$.

Таким образом, для нахождения $KH$ нам нужно сначала найти длину $CH$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$. В нем катеты $CD = AB = 15$ см и $BC = AD = 20$ см. Найдем гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора:
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Отрезок $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle BCD$, проведенной к гипотенузе $BD$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD$
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$
Приравнивая эти два выражения, получаем:
$BC \cdot CD = BD \cdot CH$
Отсюда выражаем $CH$:
$CH = \frac{BC \cdot CD}{BD} = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle KCH$. Поскольку $KC \perp (ABCD)$, то $KC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Следовательно, $\triangle KCH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle KCH$.

4. В треугольнике $\triangle KCH$ нам известны катеты $KC = 5$ см и $CH = 12$ см. Найдем гипотенузу $KH$ по теореме Пифагора:
$KH = \sqrt{KC^2 + CH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

20.49. Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$ со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, проведён перпендикуляр $DO$ к плоскости $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $2\sqrt{15}$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до сторон треугольника.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника $ABC$, где $a=6$ см, $b=25$ см, $c=29$ см. Точка $O$ — центр вписанной окружности (инцентр), а $DO$ — перпендикуляр к плоскости треугольника, причем длина $DO = 2\sqrt{15}$ см.

Требуется найти расстояние от точки $D$ до сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $K$ — точка на одной из сторон треугольника, например $AC$, такая что $DK \perp AC$. Тогда длина отрезка $DK$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим отрезок $OK$. Отрезок $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Отрезок $DK$ — наклонная к плоскости $ABC$, проведенная к прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Отрезок $OK$ — проекция наклонной $DK$ на плоскость $ABC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OK$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OK \perp AC$.

Так как $O$ — центр вписанной окружности, то расстояние от него до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Следовательно, $OK = r$.

Поскольку $DO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OK$. Значит, треугольник $DOK$ — прямоугольный с катетами $DO$ и $OK$. Искомое расстояние $DK$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DO^2 + OK^2 = DO^2 + r^2$

Чтобы найти $DK$, нужно сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{(6 \cdot 5) \cdot (6 \cdot 4) \cdot 5} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 4} = \sqrt{36 \cdot 25 \cdot 4} = 6 \cdot 5 \cdot 2 = 60$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

4. Найдем искомое расстояние $DK$:

Теперь, зная $DO = 2\sqrt{15}$ см и $r = OK = 2$ см, найдем гипотенузу $DK$ из прямоугольного треугольника $DOK$:

$DK = \sqrt{DO^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 15 + 4} = \sqrt{60 + 4} = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон треугольника (на расстояние $r$), то и точка $D$ будет равноудалена от всех сторон треугольника. Это расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.

20.50. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 20.14), сторона которого равна 4 см. Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 20.12

Рис. 20.13

Рис. 20.14

Поскольку прямая MB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то MB является перпендикуляром к этой плоскости, а отрезки MA и MD — наклонными. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Нахождение длины перпендикуляра MB

Проекцией наклонной MA на плоскость ABC является сторона квадрата AB. Следовательно, угол между прямой MA и плоскостью ABC — это угол $ \angle MAB $. По условию, $ \angle MAB = 45^{\circ} $.

Рассмотрим треугольник MAB. Так как MB перпендикулярна плоскости ABC, то прямая MB перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Значит, $ MB \perp AB $, и треугольник MAB является прямоугольным ($ \angle MBA = 90^{\circ} $). В нём катет AB равен стороне квадрата, то есть $ AB = 4 $ см.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB} $

Подставляя известные значения, получаем:

$ \tan(45^{\circ}) = \frac{MB}{4} $

Поскольку $ \tan(45^{\circ}) = 1 $, то:

$ 1 = \frac{MB}{4} \implies MB = 4 $ см.

Нахождение угла между прямой MD и плоскостью ABC

Проекцией наклонной MD на плоскость ABC является диагональ квадрата BD. Следовательно, искомый угол — это угол $ \angle MDB $.

Сначала найдем длину проекции BD. BD является диагональю квадрата ABCD со стороной 4 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD ($ \angle A = 90^{\circ} $):

$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник MDB. Так как $ MB \perp (ABC) $, то $ MB \perp BD $, и $ \angle MBD = 90^{\circ} $. Треугольник MDB — прямоугольный. В нём известны катеты: $ MB = 4 $ см и $ BD = 4\sqrt{2} $ см.

Найдем тангенс искомого угла $ \angle MDB $:

$ \tan(\angle MDB) = \frac{MB}{BD} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

20.51. Точка $M$, равноудаленная от вершин правильного треугольника $ABC$, находится на расстоянии 5 см от его плоскости. Найдите площадь треугольника $ABC$, если угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $60^\circ$.

Пусть $O$ — это проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MO = 5$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ ($MA = MB = MC$), её проекция $O$ на плоскость $ABC$ будет равноудалена от этих же вершин ($OA = OB = OC$). Таким образом, точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, точка $O$ также является его центром.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ — это угол между самой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $MA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OA$. Следовательно, угол между $MA$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle MAO$, и по условию он равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $MO=5$ см и противолежащий ему угол $\angle MAO = 60^\circ$. Мы можем найти длину катета $OA$, который является радиусом $R$ описанной окружности треугольника $ABC$, используя тангенс угла $\angle MAO$:

$\tan(\angle MAO) = \frac{MO}{OA}$

$\tan(60^\circ) = \frac{5}{OA}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{5}{OA}$

Отсюда $OA = R = \frac{5}{\sqrt{3}}$ см.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной около него окружности $R$ соотношением $a = R\sqrt{3}$. Подставим найденное значение $R$:

$a = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 5$ см.

Теперь найдем площадь $S$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $a=5$ см по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.