Номер 50, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 50, страница 190.

Условие.

20.50. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 20.14), сторона которого равна 4 см. Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 20.12

Рис. 20.13

Рис. 20.14

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку прямая MB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то MB является перпендикуляром к этой плоскости, а отрезки MA и MD — наклонными. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Нахождение длины перпендикуляра MB

Проекцией наклонной MA на плоскость ABC является сторона квадрата AB. Следовательно, угол между прямой MA и плоскостью ABC — это угол $ \angle MAB $. По условию, $ \angle MAB = 45^{\circ} $.

Рассмотрим треугольник MAB. Так как MB перпендикулярна плоскости ABC, то прямая MB перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Значит, $ MB \perp AB $, и треугольник MAB является прямоугольным ($ \angle MBA = 90^{\circ} $). В нём катет AB равен стороне квадрата, то есть $ AB = 4 $ см.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB} $

Подставляя известные значения, получаем:

$ \tan(45^{\circ}) = \frac{MB}{4} $

Поскольку $ \tan(45^{\circ}) = 1 $, то:

$ 1 = \frac{MB}{4} \implies MB = 4 $ см.

Нахождение угла между прямой MD и плоскостью ABC

Проекцией наклонной MD на плоскость ABC является диагональ квадрата BD. Следовательно, искомый угол — это угол $ \angle MDB $.

Сначала найдем длину проекции BD. BD является диагональю квадрата ABCD со стороной 4 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD ($ \angle A = 90^{\circ} $):

$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник MDB. Так как $ MB \perp (ABC) $, то $ MB \perp BD $, и $ \angle MBD = 90^{\circ} $. Треугольник MDB — прямоугольный. В нём известны катеты: $ MB = 4 $ см и $ BD = 4\sqrt{2} $ см.

Найдем тангенс искомого угла $ \angle MDB $:

$ \tan(\angle MDB) = \frac{MB}{BD} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $