Номер 53, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 53, страница 191.

Условие.

20.53. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с плоскостью $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и плоскость $\alpha$, которая проходит через его вершины $A$ и $C$. Требуется доказать, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с плоскостью $\alpha$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Опустим перпендикуляры из вершин $B$ и $D$ на плоскость $\alpha$. Пусть $B_1$ и $D_1$ будут основаниями этих перпендикуляров. Таким образом, отрезки $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, и их длины равны расстояниям от точек $B$ и $D$ до плоскости $\alpha$ соответственно.

Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AB_1$. Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle BAB_1$. Обозначим его $\phi_{AB}$.

Аналогично, поскольку точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, проекцией наклонной $CD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CD_1$. Угол между прямой $CD$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle DCD_1$. Обозначим его $\phi_{CD}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (с прямым углом $\angle AB_1B = 90^\circ$). Синус угла $\phi_{AB}$ равен:
$\sin \phi_{AB} = \frac{BB_1}{AB}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDD_1$ (с прямым углом $\angle CD_1D = 90^\circ$). Синус угла $\phi_{CD}$ равен:
$\sin \phi_{CD} = \frac{DD_1}{CD}$

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $AB = CD$.

Для того чтобы доказать равенство углов $\phi_{AB}$ и $\phi_{CD}$, достаточно доказать равенство их синусов (поскольку эти углы острые). Учитывая, что $AB = CD$, нам нужно доказать, что $BB_1 = DD_1$.

Диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Значит, $BO = OD$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ и $C$, вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, а следовательно, и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OBB_1$ и $\triangle ODD_1$.

• Гипотенузы $BO$ и $OD$ равны по свойству диагоналей параллелограмма.
• Углы $\angle BOB_1$ и $\angle DOD_1$ равны как вертикальные (точки $B_1, O, D_1$ лежат на одной прямой, являющейся пересечением плоскости $\alpha$ и плоскости, проходящей через параллельные прямые $BB_1$ и $DD_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OBB_1$ и $\triangle ODD_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BB_1 = DD_1$.

Таким образом, мы показали, что $AB = CD$ и $BB_1 = DD_1$. Отсюда следует, что:
$\sin \phi_{AB} = \frac{BB_1}{AB} = \frac{DD_1}{CD} = \sin \phi_{CD}$

Так как углы $\phi_{AB}$ и $\phi_{CD}$ являются острыми, из равенства их синусов следует равенство самих углов: $\phi_{AB} = \phi_{CD}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с плоскостью $\alpha$.