Номер 47, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 47, страница 190.

Условие.

равно 5 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

20.47. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$, $AB = 5$ см, $BC = 16$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, если расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ равно $20$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $MB \perp BC$ и $MB \perp AB$.

1. Найдем длину отрезка MB.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По условию, расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ равно 20 см.

Рассмотрим треугольник $MBC$. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ — перпендикуляр к плоскости, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция на плоскость $(ABCD)$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp CD$.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($CD$), то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MC \perp CD$.

Таким образом, длина отрезка $MC$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, то есть $MC = 20$ см.

Треугольник $MBC$ является прямоугольным, так как $MB \perp BC$. По теореме Пифагора найдем катет $MB$:

$MC^2 = MB^2 + BC^2$

$MB^2 = MC^2 - BC^2$

$MB^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$MB = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем расстояние от точки M до прямой AD.

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра из точки $M$ к прямой $AD$.

Рассмотрим треугольник $MBA$. $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $MA$ — наклонная, а $AB$ — ее проекция на плоскость $(ABCD)$.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB \perp AD$.

Снова применим теорему о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MA \perp AD$.

Это означает, что длина отрезка $MA$ является расстоянием от точки $M$ до прямой $AD$.

Треугольник $MBA$ является прямоугольным, так как $MB \perp AB$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MA$:

$MA^2 = MB^2 + AB^2$

$MA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$MA = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.