Номер 44, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 44, страница 190.

Условие.

20.44. Докажите, что если отрезок не пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полусумме расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $AB$ — данный отрезок, который ее не пересекает. Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$. Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Опустим перпендикуляры из точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$. Обозначим их основания как $A_1$, $B_1$ и $M_1$ соответственно. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точек $A$, $B$ и $M$ до плоскости $\alpha$:
$d(A, \alpha) = AA_1$
$d(B, \alpha) = BB_1$
$d(M, \alpha) = MM_1$

Требуется доказать, что $d(M, \alpha) = \frac{d(A, \alpha) + d(B, \alpha)}{2}$.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $MM_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны между собой ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel MM_1$).

Рассмотрим фигуру, образованную точками $A, B, B_1, A_1$. Так как отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, эти четыре точки лежат в одной плоскости. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ является трапецией (или прямоугольником, если $AB \parallel \alpha$), у которой отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются параллельными основаниями, а $AB$ — боковой стороной.

Поскольку $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABB_1A_1$, а отрезок $MM_1$ параллелен ее основаниям ($MM_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1$), то $MM_1$ является средней линией этой трапеции.

По свойству средней линии трапеции, ее длина равна полусумме длин оснований:$MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$.

Подставив в это равенство выражения для расстояний, получаем:$d(M, \alpha) = \frac{d(A, \alpha) + d(B, \alpha)}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев перпендикуляры, опущенные из концов отрезка и его середины на плоскость, мы получаем трапецию $ABB_1A_1$, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а перпендикуляр из середины $M$ отрезка $AB$ является средней линией $MM_1$. По свойству средней линии трапеции $MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$, что и доказывает требуемое равенство.