Номер 49, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 49, страница 190.

Условие.

20.49. Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$ со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, проведён перпендикуляр $DO$ к плоскости $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $2\sqrt{15}$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до сторон треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника $ABC$, где $a=6$ см, $b=25$ см, $c=29$ см. Точка $O$ — центр вписанной окружности (инцентр), а $DO$ — перпендикуляр к плоскости треугольника, причем длина $DO = 2\sqrt{15}$ см.

Требуется найти расстояние от точки $D$ до сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $K$ — точка на одной из сторон треугольника, например $AC$, такая что $DK \perp AC$. Тогда длина отрезка $DK$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим отрезок $OK$. Отрезок $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Отрезок $DK$ — наклонная к плоскости $ABC$, проведенная к прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Отрезок $OK$ — проекция наклонной $DK$ на плоскость $ABC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OK$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OK \perp AC$.

Так как $O$ — центр вписанной окружности, то расстояние от него до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Следовательно, $OK = r$.

Поскольку $DO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OK$. Значит, треугольник $DOK$ — прямоугольный с катетами $DO$ и $OK$. Искомое расстояние $DK$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DO^2 + OK^2 = DO^2 + r^2$

Чтобы найти $DK$, нужно сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{(6 \cdot 5) \cdot (6 \cdot 4) \cdot 5} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 4} = \sqrt{36 \cdot 25 \cdot 4} = 6 \cdot 5 \cdot 2 = 60$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

4. Найдем искомое расстояние $DK$:

Теперь, зная $DO = 2\sqrt{15}$ см и $r = OK = 2$ см, найдем гипотенузу $DK$ из прямоугольного треугольника $DOK$:

$DK = \sqrt{DO^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 15 + 4} = \sqrt{60 + 4} = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон треугольника (на расстояние $r$), то и точка $D$ будет равноудалена от всех сторон треугольника. Это расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.