Номер 54, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 54, страница 191.

Условие.

20.54. Отрезок $MK$ не пересекает плоскость $\alpha$. Найдите угол между прямой $MK$ и плоскостью $\alpha$, если $MK = 6$ см, а концы отрезка $MK$ удалены от плоскости $\alpha$ на $8\sqrt{3}$ см и на $5\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $MM'$ и $KK'$ — перпендикуляры, опущенные из концов отрезка $M$ и $K$ на плоскость $\alpha$. Длины этих перпендикуляров равны заданным расстояниям от точек до плоскости. Пусть расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $h_M = 8\sqrt{3}$ см, а от точки $K$ — $h_K = 5\sqrt{3}$ см. Таким образом, $MM' = 8\sqrt{3}$ см и $KK' = 5\sqrt{3}$ см.

Отрезок $M'K'$ является ортогональной проекцией отрезка $MK$ на плоскость $\alpha$. Углом между прямой $MK$ и плоскостью $\alpha$ называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, то есть угол между $MK$ и $M'K'$. Обозначим этот угол как $\varphi$.

Рассмотрим фигуру, образованную в пространстве. Так как $MM' \perp \alpha$ и $KK' \perp \alpha$, то прямые $MM'$ и $KK'$ параллельны. Четырехугольник $MM'K'K$ — это прямоугольная трапеция с основаниями $MM'$ и $KK'$.

Для нахождения угла $\varphi$ построим прямоугольный треугольник. Проведем из точки $K$ прямую, параллельную $M'K'$, до пересечения с отрезком $MM'$. Назовем точку пересечения $H$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $MKH$ ($\angle MHK = 90^\circ$):

• гипотенуза $MK = 6$ см (по условию);
• угол $\angle MKH = \varphi$, так как $KH \parallel M'K'$;
• катет $MH$ равен разности расстояний от точек $M$ и $K$ до плоскости $\alpha$. Так как $K'KHM'$ является прямоугольником, то $HM' = KK'$. Следовательно, $MH = MM' - HM' = MM' - KK' = 8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти синус угла $\varphi$ из соотношения в прямоугольном треугольнике $MKH$:
$\sin \varphi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MH}{MK}$
$\sin \varphi = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что искомый угол $\varphi$ равен:
$\varphi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.