Номер 61, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 61, страница 191.

Условие.

20.61. Через сторону $AB$ треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 7$ см, $AB = 10$ см, $BC = 13$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $d$ — искомое расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$. По определению, это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр как $CH$, где $H$ — точка на плоскости $\alpha$. Таким образом, $CH \perp \alpha$.

Плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$ пересекаются по прямой $AB$. Угол между этими плоскостями равен $60^\circ$. Для нахождения связи между высотой треугольника и расстоянием до плоскости, проведем в плоскости $ABC$ высоту $CD$ к стороне $AB$. Таким образом, $CD \perp AB$.

Рассмотрим отрезок $CD$ как наклонную к плоскости $\alpha$, а отрезок $HD$ — как ее проекцию на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CD$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$, то и ее проекция $HD$ перпендикулярна этой прямой. То есть, $HD \perp AB$.

Угол $\angle CDH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, так как $CD \perp AB$ и $HD \perp AB$. По условию задачи, $\angle CDH = 60^\circ$.

Треугольник $CDH$ является прямоугольным, поскольку $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит, $CH \perp HD$. В этом треугольнике катет $CH$ (искомое расстояние) связан с гипотенузой $CD$ (высотой треугольника $ABC$) соотношением:$CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = CD \cdot \sin(60^\circ)$

Теперь найдем длину высоты $CD$ треугольника $ABC$. Нам даны длины всех его сторон: $AC = 7$ см, $AB = 10$ см, $BC = 13$ см. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле Герона.

1. Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{7 + 10 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Вычислим площадь $S_{ABC}$:$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)} = \sqrt{15(15-7)(15-10)(15-13)}$$S_{ABC} = \sqrt{15 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Площадь треугольника также можно выразить через основание $AB$ и высоту $CD$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$$20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CD$$20\sqrt{3} = 5 \cdot CD$$CD = \frac{20\sqrt{3}}{5} = 4\sqrt{3}$ см.

4. Наконец, найдем искомое расстояние $CH$:$CH = CD \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.