Номер 64, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 64, страница 192.

Условие.

20.64. Грани двугранного угла лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ (рис. 20.17). Прямая $m$ пересекает грань, лежащую в плоскости $\alpha$, в точке $A$, а другую грань — в точке $B$. Прямая $n$ параллельна прямой $m$ и пересекает грань, лежащую в плоскости $\alpha$, в точке $C$. Постройте точку пересечения прямой $n$ с другой гранью данного двугранного угла.

Рис. 20.16

Рис. 20.17

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения точки пересечения прямой n с плоскостью β необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей.

Решение

1. Поскольку по условию прямая m параллельна прямой n ($m \parallel n$), через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

2. Точка A и точка B лежат на прямой m, значит, они принадлежат плоскости $\gamma$. Точка C и искомая точка D лежат на прямой n, значит, они также принадлежат плоскости $\gamma$. Таким образом, все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости $\gamma$.

3. В плоскости $\gamma$ эти четыре точки образуют четырехугольник. Рассмотрим его. Стороны этого четырехугольника лежат на прямых m, n, AC и BD.

• Прямая AC соединяет точки A и C, обе из которых лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая AC лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).
• Искомая точка D должна лежать в плоскости $\beta$. Точка B также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, вся прямая BD должна лежать в плоскости $\beta$ ($BD \subset \beta$).

4. Рассмотрим вектор $\vec{AC}$. Он соединяет точку A на прямой m с точкой C на прямой n. Этот вектор "переносит" нас от одной параллельной прямой к другой в пределах плоскости $\alpha$. Чтобы найти соответствующую точку D в плоскости $\beta$, мы должны выполнить аналогичный перенос от точки B (которая лежит на прямой m и в плоскости $\beta$). Это означает, что вектор, соединяющий B и D, должен быть равен вектору $\vec{AC}$:

$\vec{BD} = \vec{AC}$

5. Векторное равенство $\vec{BD} = \vec{AC}$ является определением параллелограмма ABDC. Отсюда следует алгоритм построения.

Построение:

1. Провести прямую через точки A и C.
2. Через точку B провести прямую k, параллельную прямой AC ($k \parallel AC$).
3. Точка, в которой прямая k пересекает прямую n, и является искомой точкой D.

В результате такого построения мы получаем четырехугольник ABDC, в котором стороны AB и CD параллельны (так как лежат на параллельных прямых m и n), а стороны AC и BD параллельны по построению. Следовательно, ABDC — параллелограмм.

Ответ: Искомая точка D — это точка пересечения прямой n с прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AC. Точка D является четвертой вершиной параллелограмма ABDC.