Номер 65, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 65, страница 192.

Условие.

20.65. Прямая $c$ – линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Точка $M$ удалена от плоскости $\alpha$ на 9 см, а от плоскости $\beta$ – на 12 см.
Найдите расстояние между точкой $M$ и прямой $c$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $M$ — данная точка, $\alpha$ и $\beta$ — две перпендикулярные плоскости, а $c$ — линия их пересечения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см. Опустим перпендикуляр $MA$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $A$ — точка в плоскости $\alpha$, $MA \perp \alpha$ и длина отрезка $MA = 9$ см.

Аналогично, расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно 12 см. Опустим перпендикуляр $MB$ из точки $M$ на плоскость $\beta$. Тогда $B$ — точка в плоскости $\beta$, $MB \perp \beta$ и длина отрезка $MB = 12$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $M$ до прямой $c$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $P$, которая лежит на прямой $c$. Таким образом, мы ищем длину отрезка $MP$, причём $MP \perp c$.

Рассмотрим наклонную $MP$ и ее проекцию на плоскость $\alpha$. Так как $MA \perp \alpha$, то отрезок $AP$ является проекцией наклонной $MP$ на плоскость $\alpha$. По обратной теореме о трех перпендикулярах: если наклонная ($MP$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($c$), то и ее проекция ($AP$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AP \perp c$.

Теперь рассмотрим прямую $AP$. Она лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии пересечения плоскостей $c$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то прямая $AP$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$, то есть $AP \perp \beta$.

Таким образом, отрезки $AP$ и $MB$ оба перпендикулярны одной и той же плоскости $\beta$. Следовательно, они параллельны: $AP \parallel MB$.

Проведем аналогичные рассуждения для плоскости $\beta$. $BP$ является проекцией наклонной $MP$ на плоскость $\beta$. Так как $MP \perp c$, то и $BP \perp c$. Поскольку прямая $BP$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна линии пересечения $c$, то $BP$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Так как $MA$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$, отрезки $BP$ и $MA$ параллельны: $BP \parallel MA$.

Рассмотрим четырехугольник $APBM$. Его противолежащие стороны попарно параллельны ($AP \parallel MB$ и $BP \parallel MA$), значит, $APBM$ — параллелограмм.

Поскольку $MA \perp \alpha$, а прямая $AP$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MA \perp AP$. Таким образом, угол $\angle MAP = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, $APBM$ — прямоугольник.

В прямоугольнике противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $AP = MB = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MAP$. Мы знаем, что он прямоугольный ($\angle MAP = 90^\circ$), с катетами $MA=9$ см и $AP=12$ см. Искомое расстояние $MP$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$MP^2 = MA^2 + AP^2$

$MP^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$MP = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.