Номер 63, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 63, страница 192.

Условие.

20.63. Точки $A$ и $B$ принадлежат разным граням острого двугранного угла, а точки $C$ и $D$ – его ребру, причём $AC = AD$, $BC = BD$ (рис. 20.16). Прямая $m$ перпендикулярна ребру двугранного угла и пересекает грань угла, которой принадлежит точка $A$, в точке $E$. Постройте точку пересечения прямой $m$ с другой гранью данного двугранного угла.

Рис. 20.16

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся тем, что линейный угол двугранного угла одинаков в любой точке ребра. Условия $AC = AD$ и $BC = BD$ позволяют нам найти этот линейный угол.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$ в грани $\alpha$. Так как $AC = AD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. Пусть $M$ — середина отрезка $CD$. Тогда медиана $AM$ в треугольнике $\triangle ACD$ является также и его высотой, то есть $AM \perp CD$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$ в грани $\beta$. Так как $BC = BD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. Медиана $BM$ (из той же точки $M$ — середины $CD$) в треугольнике $\triangle BCD$ является также и его высотой, то есть $BM \perp CD$.

Поскольку прямые $AM$ и $BM$ перпендикулярны ребру $CD$ в одной и той же точке $M$, угол $\angle AMB$ является линейным углом данного двугранного угла.

Теперь мы можем приступить к построению искомой точки.

Построение:

1. На ребре двугранного угла, прямой, содержащей отрезок $CD$, находим точку $M$ — середину отрезка $CD$.
2. Определяем величину линейного угла двугранного угла. Для этого можно построить (например, на плоскости в качестве вспомогательного чертежа) треугольник $\triangle AMB$ по трем сторонам. Длины сторон $AM$ и $BM$ можно найти из прямоугольных треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ (так как $AM \perp MC$ и $BM \perp MC$): $AM = \sqrt{AC^2 - MC^2}$ и $BM = \sqrt{BC^2 - MC^2}$. Длина стороны $AB$ известна из расположения точек. Угол $\angle AMB$ в построенном треугольнике и есть искомый линейный угол.
3. В грани $\alpha$, которой принадлежит точка $A$, проведем перпендикуляр из точки $E$ к ребру (прямой $CD$). Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $P$.
4. Плоскость, проходящая через точку $P$ перпендикулярно ребру $CD$, пересекает грань $\alpha$ по прямой $PE$. Прямая $m$, по условию, лежит в этой же плоскости, так как $m \perp CD$ и $E \in m$.
5. В этой перпендикулярной плоскости строим луч $PK$, исходящий из точки $P$ и образующий с лучом $PE$ угол, равный найденному линейному углу $\angle AMB$. Луч $PK$ должен располагаться в другой полуплоскости относительно ребра $CD$, чем грань, содержащая точку $B$. Прямая $PK$ является линией пересечения грани $\beta$ с плоскостью, в которой лежит прямая $m$.
6. Искомая точка $F$ есть точка пересечения прямой $m$ и построенной прямой $PK$.

Доказательство:

По построению, точка $F$ лежит на прямой $m$. Нам нужно доказать, что точка $F$ также лежит на второй грани двугранного угла, то есть на грани $\beta$.

Прямая $m$ по условию перпендикулярна ребру $l$ (прямой $CD$) и проходит через точку $E$. Следовательно, прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\Pi$, проходящей через точку $E$ и перпендикулярной ребру $l$. Основание перпендикуляра из $E$ на $l$, точка $P$, также лежит в этой плоскости.

Грань $\alpha$ пересекается с плоскостью $\Pi$ по прямой $PE$. Грань $\beta$ пересекается с плоскостью $\Pi$ по некоторой прямой, проходящей через точку $P$. Угол между этими прямыми пересечения по определению является линейным углом двугранного угла.

Как мы показали в начале, линейный угол этого двугранного угла равен $\angle AMB$. В шаге 5 построения мы построили прямую $PK$ в плоскости $\Pi$ так, что угол $\angle(PE, PK) = \angle AMB$. Следовательно, прямая $PK$ является линией пересечения грани $\beta$ и плоскости $\Pi$.

Поскольку точка $F$ является точкой пересечения прямой $m$ и прямой $PK$ ($F = m \cap PK$), и обе эти прямые лежат в плоскости $\Pi$, то $F$ корректно определена. Так как $F$ лежит на прямой $PK$, а прямая $PK$ лежит в грани $\beta$, то точка $F$ принадлежит грани $\beta$.

Таким образом, точка $F$ является точкой пересечения прямой $m$ с гранью $\beta$. Построение верно.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $m$ с другой гранью двугранного угла — это точка $F$, полученная в результате описанного выше построения.