Номер 58, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 58, страница 191.

Условие.

20.58. Дано: $\alpha \cap \beta = m$, $A \in \alpha$, $B \in \beta$, $AC \perp m$, $BC \perp m$, $AC = 2$ см, $BC = 1$ см, $AB = \sqrt{5}$ см. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $B$ — плоскости $\beta$. Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BC$ на прямую $m$. Это означает, что точка $C$ лежит на прямой $m$, отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$) и $AC \perp m$, а отрезок $BC$ лежит в плоскости $\beta$ ($BC \subset \beta$) и $BC \perp m$.

Следовательно, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между отрезками $AC$ и $BC$, то есть $\angle ACB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Нам известны длины всех его сторон: $AC = 2$ см, $BC = 1$ см, $AB = \sqrt{5}$ см. Чтобы найти угол $\angle ACB$, воспользуемся теоремой косинусов:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим известные значения в формулу:$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle ACB)$$5 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle ACB)$$5 = 5 - 4 \cos(\angle ACB)$$0 = -4 \cos(\angle ACB)$$\cos(\angle ACB) = 0$

Поскольку $\angle ACB$ является углом в треугольнике, его значение находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен нулю, это $90^\circ$.Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.

Также можно было применить обратную теорему Пифагора. Проверим, выполняется ли равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$:$2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$$(\sqrt{5})^2 = 5$Так как $5=5$, равенство выполняется. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, и его прямой угол — $\angle ACB$.

Таким образом, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$