Номер 48, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 48, страница 190.

Условие.

20.48. Отрезок $KC$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$, $AB = 15$ см, $AD = 20$ см, $KC = 5$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BD$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. По условию, отрезок $KC$ перпендикулярен плоскости прямоугольника, то есть $KC \perp (ABCD)$. Нам даны длины сторон прямоугольника $AB = 15$ см, $AD = 20$ см и длина перпендикуляра $KC = 5$ см. Требуется найти расстояние от точки $K$ до прямой $BD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к прямой $BD$ (точка $H$ лежит на прямой $BD$). Длина отрезка $KH$ и есть искомое расстояние.

Отрезок $CH$ является проекцией наклонной $KH$ на плоскость $(ABCD)$. Так как $KH \perp BD$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция также перпендикулярна прямой $BD$, то есть $CH \perp BD$.

Таким образом, для нахождения $KH$ нам нужно сначала найти длину $CH$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$. В нем катеты $CD = AB = 15$ см и $BC = AD = 20$ см. Найдем гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора:
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Отрезок $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle BCD$, проведенной к гипотенузе $BD$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD$
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$
Приравнивая эти два выражения, получаем:
$BC \cdot CD = BD \cdot CH$
Отсюда выражаем $CH$:
$CH = \frac{BC \cdot CD}{BD} = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle KCH$. Поскольку $KC \perp (ABCD)$, то $KC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Следовательно, $\triangle KCH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle KCH$.

4. В треугольнике $\triangle KCH$ нам известны катеты $KC = 5$ см и $CH = 12$ см. Найдем гипотенузу $KH$ по теореме Пифагора:
$KH = \sqrt{KC^2 + CH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.