Номер 86, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 86, страница 194.

Условие.

20.86. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, а $S$ - ее вершина. Обозначим высоту пирамиды, опущенную из вершины $S$ на плоскость основания, как $SO = h$. Точка $O$ — основание высоты.

По условию, одна из сторон прямоугольника равна $a$. Пусть это будет сторона $AB$, то есть $AB = a$. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $\alpha$. Рассмотрим диагональ $AC$. Тогда угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ есть $\angle CAB = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). В этом треугольнике мы знаем катет $AB = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$. Мы можем найти длину гипотенузы $AC$ (диагонали прямоугольника) используя косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{AC}$

Отсюда выразим диагональ $AC$:

$AC = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

По условию, каждое боковое ребро пирамиды ($SA, SB, SC, SD$) образует с плоскостью основания угол $\beta$. Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость.

Проекциями боковых ребер $SA, SB, SC, SD$ на плоскость основания $ABCD$ являются отрезки $OA, OB, OC, OD$ соответственно. Следовательно, углы, которые боковые ребра образуют с плоскостью основания, это $\angle SAO = \beta$, $\angle SBO = \beta$, $\angle SCO = \beta$ и $\angle SDO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$. Все они прямоугольные, так как $SO$ — высота, то есть $SO \perp (ABCD)$. У этих треугольников общий катет $SO = h$ и равные острые углы при основании ($\beta$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов:

$OA = OB = OC = OD$

Это означает, что точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех вершин прямоугольника $ABCD$. В прямоугольнике единственная такая точка — это точка пересечения его диагоналей.

Таким образом, точка $O$ является центром прямоугольника и делит диагонали пополам. В частности, $OC$ равно половине диагонали $AC$:

$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Теперь вернемся к одному из прямоугольных треугольников, например, к $\triangle SOC$. Мы знаем длину катета $OC$ и величину угла $\angle SCO = \beta$. Высота пирамиды $h = SO$ является другим катетом этого треугольника. Используя определение тангенса угла, получаем:

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OC}$

Отсюда выражаем высоту $h=SO$:

$h = OC \cdot \tan(\beta)$

Подставим ранее найденное выражение для $OC$:

$h = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$

Ответ: Высота пирамиды равна $h = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.